[논문 리뷰] Improved boundary regularity for a Stokes-Lam\\'e system

Francesca Bucci|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 10.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 37인용 수 43

한 줄 요약

본 연구는 감쇠된 Stokes-Lamé 유체-구조 상호작용을 분석하여 인터페이스에서 유체의 경계 추적(trace) 정규성을 보이고, semigroup/보간 방법을 통해 무한 호 선형-이차 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper recalls a partial differential equations system, which is the linearization of a recognized fluid-elasticity interaction three-dimensional model. A collection of regularity results for the traces of the fluid variable on the interface between the body and the fluid is established, in the case a suitable boundary dissipation is present. These regularity estimates -- in time and space, of local and global nature -- are geared toward ensuring the well-posedness of the algebraic Riccati equations which arise from the associated optimal boundary control problems on an infinite time horizon. The theory of operator semigroups and interpolation provide the main tools.

연구 동기 및 목표

• 고정된 감쇠 환경에서 유체-탄성 인터페이스 상호작용 연구를 촉진한다.
• 제어 설계에 필요한 유체 인터페이스의 추적(trace) 정규성을 확립한다.
• PDE 시스템을 재정의하기 위한 추상적 군(semigroup) 프레임워크를 개발한다.
• 무한 호 최적 제어로부터 유발되는 대수 Riccati 방정식의 해의 존재성을 확보한다.

제안 방법

• 형태를 결합한 PDE 시스템을 적절한 Banach 공간에서 y' = Ay + Bg로 추상 Cauchy 문제로 형식화한다.
• 생성자 A가 해석적 시그마프를 정의하고 제어 연산자 B가 허용가능하다는 것을 보인다.
• 시그마프/보간 기법을 통해 인터페이스에서의 유체 속도와 경계 추적의 추적 정규성을 도출한다.
• 인터페이스의 탄성 응력의 정규성(제2.4) 을 이용해 경계 항들을 제어한다.
• 무한 호 LQ 프레임워크를 감쇠된 FSI에 적용하고 추적 정규성을 Riccati 방정식의 well-posedness와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감쇠된 FSI 시스템에서 Γs 인터페이스에서의 유체 속도 u의 추적 및 그 시간 도함수 u_t의 어떤 정규성이 얻어지는가?
• RQ2 경계 소멸(dissipation) 항(a2 > 0)은 무정찰 경우(a2 = 0)와 비교하여 안정성과 정규성에 어떤 변화를 가져오는가?
• RQ3 확립된 추적 정규성이 관련 무한 호 선형-이차 제어 문제의 well-posedness 및 대응 Riccati 방정식의 문제를 지지하는가?

주요 결과

• 인터페이스 Γs에서의 유체 속도는 u(t) = u1(t) + u2(t)로 분해될 수 있으며, u1(t)는 시간적 특이점(t^{-1/4-δ})에 의해 완화된 지수적 감소를 나타낸다.
• 두 번째 구성 요소 u2는 인터페이스에서 Lp-형 정규성을 만족하며, 모든 p ≥ 1 및 유한한 T에 대해 u2|Γs ∈ L^p(0,T; L^2(Γs))를 얻는다.
• 더 높은 초기 조건의 경우 더 강한 정규성을 얻으며: u2|Γs ∈ H^{1+ε/2, 1/2+ε/4}(Σs) 이고 따라서 u2|Γs ∈ C([0,T], L^2(Γs))이다.
• 인터페이스에서의 유체 가속도 추적 u_t은 q < 2/(2−δ)에 대해 L^q(0,T; H^{1/2−θ−δ}(Γs))에 속하며, 특히 q < 4/(3+2θ)일 때 L^q(0,T; L^2(Γs))에 속한다.
• 이 추적 정규성 결과는 평활화된 관측 없이 얻어지며, 전체 이차 에너지 함수와 호환되어 무한 호 LQ 이론의 적용이 가능하다.