[논문 리뷰] Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth

Wojciech Czerwiński, Wojciech Nadara외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 30.

Advanced Graph Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 트리깊이의 배제된 미니어 근사 경계를 향상시켜, 임의의 그래프가 트리깊이 $ C a b $ 이상일 경우, 트리너비가 $ a $ 이상 또는 트리깊이 $ b $ 이상인 부분삼진수 트리가 존재함을 보여준다. 여기서 $ C = \log 3 / \log((1+\sqrt{5})/2) $ 이다. 결과적으로 이전의 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 에서 $ \Omega(k^3) $ 으로 의존도가 감소하였으며, 이는 다항시간 근사 알고리즘의 경계를 $ O(k t \log^{3/2} t) $ 으로 향상시켜 이전의 $ O(k t^2 \log t) $ 보다 개선하였다. 핵심 기술적 진전은 주어진 트리깊이를 가진 트리에서 부분삼진수 부분트리 깊이에 대한 하한을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Treedepth, a more restrictive graph width parameter than treewidth and pathwidth, plays a major role in the theory of sparse graph classes. We show that there exists a constant $C$ such that for every positive integers $a,b$ and a graph $G$, if the treedepth of $G$ is at least $Cab$, then the treewidth of $G$ is at least $a$ or $G$ contains a subcubic (i.e., of maximum degree at most $3$) tree of treedepth at least $b$ as a subgraph. As a direct corollary, we obtain that every graph of treedepth $\Omega(k^3)$ is either of treewidth at least $k$, contains a subdivision of full binary tree of depth $k$, or contains a path of length $2^k$. This improves the bound of $\Omega(k^5 \log^2 k)$ of Kawarabayashi and Rossman [SODA 2018]. We also show an application of our techniques for approximation algorithms of treedepth: given a graph $G$ of treedepth $k$ and treewidth $t$, one can in polynomial time compute a treedepth decomposition of $G$ of width $\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$. This improves upon a bound of $\mathcal{O}(kt^2 \log t)$ stemming from a tradeoff between known results. The main technical ingredient in our result is a proof that every tree of treedepth $d$ contains a subcubic subtree of treedepth at least $d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$.

연구 동기 및 목표

• 트리깊이의 배제된 미니어 근사 경계를 향상시켜, $ k $ 에 대한 의존도를 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 에서 $ \Omega(k^3) $ 으로 감소시키는 것.
• 모든 트리가 주어진 트리깊이 $ d $ 를 가질 경우, 최소한 $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) $ 의 트리깊이를 가진 부분삼진수 부분트리가 포함됨을 보여주는 구조적 결과를 확립하는 것.
• 이 구조적 결과를 응용하여 트리너비와 트리깊이에 대해 더 나은 의존도를 가지는 더 빠른 다항시간 근사 알고리즘을 설계하는 것.
• 긴 경로와 큰 이진트리 분할을 피하면서도 높은 트리깊이를 유지하는 트리의 거의 최적의 구성 제공

제안 방법

• 트리깊이 $ d $ 를 가진 모든 트리가 최소한 $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) $ 의 트리깊이를 가진 부분삼진수 부분트리를 포함함을 보이기 위해, 재귀적 분해와 루트된 부분트리의 구조적 분석을 사용한다.
• 부분삼진수 부분트리 결과를 활용하여 새로운 배제된 미니어 근사 경계 유도: $ \text{td}(G) \geq C a b $ 이면 $ \text{tw}(G) \geq a $ 이거나 $ G $ 는 트리깊이 $ \geq b $ 인 부분삼진수 트리를 포함한다.
• 레미마 1.1(트리 분해에서 다항시간 트리깊이 분해 가능)을 트리너비 근사와 조합하여, $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G) \cdot \log^{3/2} \text{tw}(G)) $ 의 근사 경계를 가지는 새로운 근사 알고리즘 도출.
• 길이 $ 2a $ 의 경로에 $ b $-깊이 부분트리가 부착된 트리 가족 $ G_n $ 을 재귀적으로 구성하여, 긴 경로나 큰 이진트리 분할이 없음에도 불구하고 트리깊이 $ \binom{n+1}{2} $ 를 유지함을 보여, 경계의 타이트함을 입증.
• 트리 가족 $ G_{a,b} $ 에 대해 귀납적 추론을 사용하여 트리깊이 하한을 증명하고, $ 2a $ 길이의 경로에 $ b $-깊이 부분트리가 부착된 트리의 경우 $ \text{td}(H) \geq a + b $ 임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 트리깊이의 배제된 미니어 근사 경계를 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 에서 $ \Omega(k^3) $ 으로 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 주어진 트리깊이 $ d $ 를 가진 트리 내에서 부분삼진수 부분트리의 최대 트리깊이는 얼마인가?
• RQ3 부분삼진수 부분트리의 구조적 성질을 활용하여 다항시간 트리깊이 알고리즘의 근사 비율을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 배제된 미니어 근사에 대해 $ \Omega(k^3) $ 의 경계가 상수 인자 범위 내에서 최적인가?

주요 결과

• 논문은 새로운 배제된 미니어 근사 경계를 확립한다: $ \text{td}(G) \geq C a b $ 이면 $ \text{tw}(G) \geq a $ 이거나 $ G $ 는 트리깊이 $ \geq b $ 인 부분삼진수 트리를 포함하며, $ C = \log 3 / \log((1+\sqrt{5})/2) \approx 1.44 $ 이다.
• 이 경계는 이전의 $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ 에서 $ \Omega(k^3) $ 으로 향상되었으며, 트리깊이 $ \Omega(k^3) $ 인 그래프는 반드시 $ k \times k $ 격자 미니어 또는 트리깊이 $ \Omega(k) $ 인 부분삼진수 트리를 포함해야 한다는 것을 보여준다.
• 새로운 다항시간 근사 알고리즘을 제안하며, 근사 비율이 $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G) \cdot \log^{3/2} \text{tw}(G)) $ 로, 이전의 $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G)^2 \cdot \log \text{tw}(G)) $ 보다 향상되었다.
• 논문은 트리깊이 $ \binom{n+1}{2} $, 길이 $ 2n+2 $ 이상의 경로 없음, 깊이 $ n+2 $ 의 완전 이진트리 분할 없음에도 불구하고, 트리의 가족 $ G_n $ 을 구성하여 구조적 경계의 타이트함을 입증하였다.
• 모든 트리깊이 $ d $ 를 가진 트리는 최소한 $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) \approx d \cdot 0.67 $ 의 트리깊이를 가진 부분삼진수 부분트리를 포함한다는 구조적 결과가 증명되었으며, 이는 핵심 기술적 도구로 사용되었다.