[논문 리뷰] Improved Bounds on Fourier Entropy and Min-Entropy

Srinivasan Arunachalam, Sourav Chakraborty외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 26.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 74인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 엔트로피와 인증 복잡도 사이의 더 날카운 경계를 증명하여 푸리에 엔트로피-영향(FEI) 추측을 발전시킨다. H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓) 및 H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓)를 제시하며, 독자 𝑘-DNF에 대한 푸리에 최소엔트로피-영향(FMEI) 추측을 검증하고, 스퍼스리티 2𝜔(𝑑)를 갖는 정도 𝑑의 평탄한 블록-다항다중선형 다항식이 부울 함수를 1/3-근사로 가질 수 없음을 보이며, FEI 추측 하에서 다항식 근사의 새로운 구조적 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

Given a Boolean function $f:\{-1,1\}^n o \{-1,1\}$, the Fourier distribution assigns probability $\widehat{f}(S)^2$ to $S\subseteq [n]$. The Fourier Entropy-Influence (FEI) conjecture of Friedgut and Kalai asks if there exist a universal constant C>0 such that $H(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$, where $H(\hat{f}^2)$ is the Shannon entropy of the Fourier distribution of $f$ and $Inf(f)$ is the total influence of $f$. 1) We consider the weaker Fourier Min-entropy-Influence (FMEI) conjecture. This asks if $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$, where $H_{\infty}(\hat{f}^2)$ is the min-entropy of the Fourier distribution. We show $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2C_{\min}^\oplus(f)$, where $C_{\min}^\oplus(f)$ is the minimum parity certificate complexity of $f$. We also show that for every $ε\geq 0$, we have $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2\log (\|\hat{f}\|_{1,ε}/(1-ε))$, where $\|\hat{f}\|_{1,ε}$ is the approximate spectral norm of $f$. As a corollary, we verify the FMEI conjecture for the class of read-$k$ $DNF$s (for constant $k$). 2) We show that $H(\hat{f}^2)\leq 2 aUC^\oplus(f)$, where $aUC^\oplus(f)$ is the average unambiguous parity certificate complexity of $f$. This improves upon Chakraborty et al. An important consequence of the FEI conjecture is the long-standing Mansour's conjecture. We show that a weaker version of FEI already implies Mansour's conjecture: is $H(\hat{f}^2)\leq C \min\{C^0(f),C^1(f)\}$?, where $C^0(f), C^1(f)$ are the 0- and 1-certificate complexities of $f$, respectively. 3) We study what FEI implies about the structure of polynomials that 1/3-approximate a Boolean function. We pose a conjecture (which is implied by FEI): no "flat" degree-$d$ polynomial of sparsity $2^{ω(d)}$ can 1/3-approximate a Boolean function. We prove this conjecture unconditionally for a particular class of polynomials.

연구 동기 및 목표

• 불확실한 인증 복잡도에 따라 푸리에 엔트로피의 상한을 향상시키고, FEI 추측을 발전시키는 것.
• 최소 페어리티-인증 복잡도와 근사 스펙트럼 노름을 사용하여 푸리에 최소엔트로피에 대한 새로운 경계를 설정하는 것.
• FEI 추측 하에서 부울 함수를 1/3-근사로 가질 수 있는 다항식의 구조적 제약 조건을 조사하는 것.
• 고정된 𝑘에 대해 독자 𝑘-DNF 클래스에 대한 FMEI 추측을 검증하는 것.
• 평탄한 다항식 추측을 통해 FEI 추측과 보넨블루스트-힐레 부등식 사이의 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• 푸리에 엔트로피를 유계하기 위해 평균 불확실한 페어리티-인증 복잡도(aUC⊕(𝑓))를 도입하여 H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓)를 증명한다.
• 최소 페어리티-인증 복잡도 C⊕min(𝑓)를 정의하고, 최소엔트로피에 대해 H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓)를 증명한다.
• 근사 스펙트럼 노름 ∥𝑓̂∥1,𝜀을 사용하여 모든 𝜀 ≥ 0에 대해 H∞(𝑓̂²) ≤ 2 log(∥𝑓̂∥1,𝜀/(1−𝜀))를 유도한다.
• 이 경계들을 적용하여 독자 𝑘-DNF의 인증 복잡도가 유한하므로 FMEI 추측을 검증한다.
• 도수 𝑑와 스퍼스리티 2𝜔(𝑑)를 갖는 평탄한 블록-다항다중선형 다항식이 부울 함수를 1/3-근사로 가질 수 없다는 추측을 제안한다.
• 이 추측을 특정 다항식 클래스에 대해 조건 없이 증명하며, 보넨블루스트-힐레 상수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸리에 엔트로피는 평균 불확실한 인증 복잡도로 유계될 수 있으며, 이는 FEI 추측과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 모든 부울 함수에 대해 푸리에 최소엔트로피가 H∞(𝑓̂²) ≤ 𝐶·Inf(𝑓)를 만족하는가? 이는 독자 𝑘-DNF에 대해 검증될 수 있는가?
• RQ3 FEI 추측을 사용하여 부울 함수를 근사하는 특정 유형의 평탄한 다항식을 배제할 수 있는가?
• RQ4 모든 부울 함수에 대해 H(𝑓̂²) ≤ 𝜆·min{C1(𝑓), C0(𝑓)}를 만족하는 보편 상수 𝜆가 존재하는가? 이는 만소르의 추측을 해결할 수 있는가?
• RQ5 평탄한 다항식 근사와 보넨블루스트-힐레 부등식 사이의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓)를 증명하여 이전의 경계를 향상시키고, FEI를 불확실한 인증 복잡도와 연결한다.
• H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓)를 확립하여 최소 페어리티-인증 복잡도를 사용한 날카운 최소엔트로피 경계를 제공한다.
• 고정된 𝑘에 대해 독자 𝑘-DNF에 대한 FMEI 추측이 새로운 최소엔트로피 경계를 활용하여 검증된다.
• H∞(𝑓̂²) ≤ 2 log(∥𝑓̂∥1,𝜀/(1−𝜀))라는 새로운 경계가 도출되었으며, 최소엔트로피와 근사 스펙트럼 노름 간의 연결 고리를 제공한다.
• 논문은 평탄한 블록-다항다중선형 다항식이 도수 𝑑와 스퍼스리티 2𝜔(𝑑)를 갖는 경우 어떤 부울 함수도 1/3-근사로 가질 수 없다는 것을 조건 없이 증명한다.
• 평탄한 다항식 추측과 보넨블루스트-힐레 부등식 사이에 흥미로운 연결 고리가 확립되었으며, 더 깊은 함수해석학적 연결 고리를 시사한다.