[논문 리뷰] Improved Decision Rule Approximations for Multi-Stage Robust Optimization via Copositive Programming

Guanglin Xu, Grani A. Hanasusanto|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 19.

Advanced Optimization Algorithms Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비정상적인 목표 계수, 후속 행렬, 우변 항에 대한 불확실성을 고려한 다단계로버스트 최적화 문제에 대해 코페티브 프로그래밍을 이용한 개선된 결론 규칙 근사법을 제안한다. 이는 더 엄밀하고 해석 가능한 해를 가능하게 한다. 조각별 선형 결론 규칙과 준정방형 프로그래밍 리 릿스팅을 활용함으로써, 기존 최첨단 기법들보다 더 우수한 최적성 경계를 달성하면서도 계산적으로도 확장 가능한 성능을 보인다.

ABSTRACT

We study decision rule approximations for generic multi-stage robust linear optimization problems. We consider linear decision rules for the case when the objective coefficients, the recourse matrices, and the right-hand sides are uncertain, and consider quadratic decision rules for the case when only the right-hand sides are uncertain. The resulting optimization problems are NP-hard but amenable to copositive programming reformulations that give rise to tight conservative approximations. We further enhance these approximations through new piecewise decision rule schemes. Finally, we prove that our proposed approximations are tighter than the state-of-the-art schemes and demonstrate their superiority through numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 불확실성 구조 하에서 다단계로버스트 최적화(MSRO)의 계산 비가역성 문제를 해결하기 위해.
• 후속 조치가 고정되어 있지 않은 경우, 기존 선형 결론 규칙의 한계를 극복하기 위해 더 엄밀한 보수적 근사법을 개발하기 위해.
• 기존 방법보다 더 엄밀한 경계를 보장하는 조각별 선형 결론 규칙을 통해 근사 품질을 향상시키기 위해.
• 코페티브 프로그래밍의 준정방형 프로그래밍 재구성 방식을 통해 해석 가능한 해 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 특히 구조적 단순화를 위해 첫 번째 좌표축을 중심으로 조각별 선형 리프팅을 이용해 확장된 불확실한 매개변수 공간을 구성한다.
• 확장된 불확실한 매개변수에 선형 결론 규칙을 적용하여 문제를 준무한 선형 프로그래밍으로 변환한다.
• 완전 양성 행렬의 코너를 이용해 최악의 경우 하위문제를 완전 양성 프로그램으로 재구성한다.
• 완전 양성 코어를 타당하고 준정방형 표현 가능한 외부 근사로 대체하여 해석 가능한 준정방형 리 릿스팅을 유도한다.
• 코어 쌍대성과 표준 리 릿스팅 기법을 활용하여 최악의 경우 최대화 문제의 유한하고 해석 가능한 재구성식을 도출한다.
• 해법을 다수의 좌표축으로 일반화하여 더 넓은 MSRO 공식화에 적용 가능하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각별 선형 결론 규칙가 다단계로버스트 최적화에 체계적으로 통합되어 선형 규칙을 초월하는 해 품질 향상을 이룰 수 있는가?
• RQ2 코페티브 프로그래밍이 후속 조치가 고정되어 있지 않은 MSRO에 대해 더 엄밀한 보수적 근사법을 도출하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 제안된 근사법이 트렁케이션 또는 분리된 선형 결론 규칙과 같은 기존 방법들에 비해 상대적으로 얼마나 엄밀한가?
• RQ4 결과적으로 유도된 최적화 문제들이 해석 가능성 있는 준정방형 프로그램으로 재구성될 수 있는가, 해 품질을 손상시키지 않고서도?
• RQ5 불확실성 집합을 리프팅함으로써 결론 규칙 근사의 품질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 조각별 선형 결론 규칙 기반 근사법은 기존 최첨단 기법들(트렁케이션 및 분리된 선형 규칙 포함)보다 더 엄밀한 근사를 제공한다.
• 최악의 경우 하위문제의 코페티브 프로그래밍 재구성 방식을 통해 증명 가능한 경계 향상 효과를 달성한다.
• 유도된 준정방형 리 릿스팅은 최악의 경우 목표 함수에 대한 타당한 상한을 제공하며, 코어 쌍대성에 의해 유한하고 해석 가능한 재구성식을 제공한다.
• 완전 양성 코어의 외부 근사는 계산적으로 효율적인 해법 접근 방식을 제공하며, 다항식 결론 규칙 계층 구조보다 더 나은 확장성을 보인다.
• 수치 실험 결과 제안된 방법이 최적성 갭과 계산 효율성 측면에서 기존 방법보다 뛰어난 성능을 보임을 입증한다.
• 이 방법은 고정된 후속 조치 설정에 국한되지 않고 목표 계수, 후속 행렬, 우변 항에 대한 불확실성이 존재하는 문제들에도 일반화 가능하다.