[논문 리뷰] Improved Liouville theorems for axially symmetric Navier-Stokes equations

Zhen Lei, Qi S Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 03.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 축대칭인 2D 및 3D 나비에-스토크스 방정식의 古い 해에 대해 날카로운 리우빌 정리를 확립하며, 비선형 속도장이 무한대에서 코어스피드가 충분히 감쇠하면 상수임을 증명한다. 낙폭이 없는 경우에 대해선, 비선형 속도장이 무한대에서 코어스피드가 충분히 감쇠하면 상수임을 증명한다. 낙폭이 있는 경우에 대해선, 유동량 $\Gamma = r v_\theta$ 가 $L^\infty_t L^p_x$ 에 속해 있거나 무한대에서 균일하게 감쇠하면, 유계인 古い 미드 해는 상수이다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the Liouville property for ancient solutions of the incompressible Navier-Stokes equations. In 2D and the 3D axially symmetric case without swirl, we prove sharp Liouville theorems for smooth ancient mild solutions: velocity fields $v$ are constants if vorticity fields satisfy certain condition and $v$ are sublinear with respect to spatial variables, and we also give counterexamples when $v$ are linear with respect to spatial variables. The condition which vorticity fields need to satisfy is $\lim\limits_{|x| ightarrow +\infty}|w(x,t)|=0$ and $\lim\limits_{r ightarrow +\infty}\frac{|w|}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}=0$ uniformly for all $t\in(-\infty,0)$ in 2D and 3D axially symmetric case without swirl, respectively. In the case when solutions are axially symmetric with nontrivial swirl, we prove that if $Γ=rv_θ\in L^\infty_tL^p_x(\mathbb{R}^3 imes(-\infty,0))$ where $1\leq p

연구 동기 및 목표

• 압축성 없이 축대칭 설정에서의 고전적인 나비에-스토크스 방정식의 古い 해에 대해 날카로운 리우빌 유형 정리를 확립하는 것.
• 특히 낙폭이 없거나 있음에 따라, 유계 또는 비선형 속도를 가진 古い 미드 해가 상수임을 보장하는 조건을 규명하는 것.
• 기존의 리우빌 결과를 확장하기 위해, 코어스피드의 감쇠 조건 또는 낙폭 성분 $\Gamma = r v_\theta$ 의 적분 조건을 통합하는 것.
• 축대칭 나비에-스토크스 흐름에서 古い 해의 정칙성과 분류에 관한 열린 문제를 해결하는 것.
• 선형 속도 성장은 리우빌 성질을 깨뜨릴 수 있음을 보여주는 반례를 제시함으로써 조건의 날카로움을 입증하는 것.

제안 방법

• 2D 및 3D 축대칭 나비에-스토크스 방정식의 古い 미드 해를 분석하며, 낙폭이 있는지 여부에 따라 다름.
• 코어스피드에 대한 감쇠 조건을 도입: $\lim_{|x|\to\infty} |\omega(x,t)| = 0$ 과 $\lim_{r\to\infty} \frac{|\omega|}{r} = 0$ 이 $t \leq 0$ 에 대해 균일하게 성립.
• 비영일 빛 낙폭이 있는 해에 대해선, $\Gamma = r v_\theta \in L^\infty_t L^p_x(\mathbb{R}^3 \times (-\infty,0))$ 를 가정.
• 반타작 구조를 이용하여 $\mathbb{R}^3 \setminus \{r=0\}$ 영역에서 $\Gamma$ 에 대해 최대원리 적용.
• 스케일링을 통한 컴actness 및 붕괴 근사 기법을 사용하여 해의 극한을 도출하며, $\Gamma$ 의 비영이 아닌 최대/최소가 모순을 일으킴을 보임.
• 최대원리와 $r=0$ 에서의 연속성(여기서 $\Gamma \equiv 0$)을 조합하여 $\Gamma \equiv 0$ 를 유추함으로써 $v_\theta \equiv 0$ 를 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 축대칭 나비에-스토크스 방정식의 비선형 古い 미드 해가 상수로 줄어들기 위한 코어스피드 감쇠 조건은 무엇인가?
• RQ2 낙폭이 있는 경우 리우빌 성질을 어떻게 확장할 수 있으며, $\Gamma = r v_\theta$ 에 대한 어떤 적분 조건이 상수성을 보장하는가?
• RQ3 낙폭이 없는 경우 리우빌 정리에 대해 조건 $\lim_{r\to\infty} \frac{|\omega|}{r} = 0$ 이 날카로운가?
• RQ4 속도장이 공간에서 선형적으로 증가할 경우 어떤 일이 일어나며, 이러한 해는 비상수일 수 있는가? 이는 리우빌 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 축대칭 낙폭이 있는 경우에 $\Gamma \in L^\infty_t L^p_x$ for $1 \leq p < \infty$ 라는 가정이, 고전적인 해가 상수임을 보장하는 데 충분한가?

주요 결과

• 2D 및 3D 축대칭 낙폭이 없는 경우, 코어스피드가 $\lim_{|x|\to\infty} |\omega(x,t)| = 0$ 과 $\lim_{r\to\infty} \frac{|\omega|}{r} = 0$ 이 $t \leq 0$ 에 대해 균일하게 성립하면, 비선형 속도를 가진 부드러운 古い 미드 해는 상수이다.
• 비영일 빛 낙폭이 있는 축대칭 해에 대해선, $\Gamma = r v_\theta \in L^\infty_t L^p_x(\mathbb{R}^3 \times (-\infty,0))$ for $1 \leq p < \infty$ 이면, 유계인 古い 미드 해는 반드시 상수이다.
• 논문은 속도장이 공간에서 선형적으로 증가할 경우 리우빌 성질이 성립하지 않음을 보여주는 반례를 제시하여, 비선형 성장 조건의 날카로움을 확인한다.
• 만약 $\Gamma$ 가 무한대에서 균일하게 감쇠한다면 즉, $\lim_{r\to\infty} \Gamma = 0$ 이 $t$ 에 대해 균일하면, 유계인 古い 미드 해는 상수이다. 이 경우 $L^p$ 적분 조건이 필요하지 않다.
• 증명은 $\Gamma$ 에 대해 최대원리를 적용함으로써 이루어지며, $r=0$ 에서의 경계 행동으로 인해 비영이 아닌 최대 또는 최소가 모순을 일으킴을 보여준다.
• 스케일링 기법과 강력한 최대원리를 조합하여, 저자들은 $(-\infty,0) \times \mathbb{R}^3$ 에서 $\Gamma \equiv 0$ 를 보여주며, 이는 $v_\theta \equiv 0$ 를 의미하고, 이로 인해 낙폭이 없는 경우로 문제를 환원할 수 있으며, 이 경우 상수성은 기존 결과에 의해 도출된다.