[논문 리뷰] Improved Multi-Pass Streaming Algorithms for Submodular Maximization with Matroid Constraints

Chien‐Chung Huang, Theophile Thiery외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 p-매치로이드 제약 조건 하에서 단조 및 비음수 하위모듈러 최대화 문제에 대해 향상된 다중 통과 스트리밍 알고리즘을 제안하며, O(p/ε) 통과와 O(k) 공간을 사용해 (p+1+ε)-근사값을 달성한다. 일반 하위모듈러 함수로의 확장은 O(p³k log k / ε³) 공간과 O(p/ε) 통과를 사용하여 (p+1+γ̄_off+O(ε))-근사값을 달성하며, 최소한의 통과 수와 메모리로 오프라인 성능에 거의 도달한다.

ABSTRACT

We give improved multi-pass streaming algorithms for the problem of maximizing a monotone or arbitrary non-negative submodular function subject to a general $p$-matchoid constraint in the model in which elements of the ground set arrive one at a time in a stream. The family of constraints we consider generalizes both the intersection of $p$ arbitrary matroid constraints and $p$-uniform hypergraph matching. For monotone submodular functions, our algorithm attains a guarantee of $p+1+\varepsilon$ using $O(p/\varepsilon)$-passes and requires storing only $O(k)$ elements, where $k$ is the maximum size of feasible solution. This immediately gives an $O(1/\varepsilon)$-pass $(2+\varepsilon)$-approximation algorithms for monotone submodular maximization in a matroid and $(3+\varepsilon)$-approximation for monotone submodular matching. Our algorithm is oblivious to the choice $\varepsilon$ and can be stopped after any number of passes, delivering the appropriate guarantee. We extend our techniques to obtain the first multi-pass streaming algorithm for general, non-negative submodular functions subject to a $p$-matchoid constraint with a number of passes independent of the size of the ground set and $k$. We show that a randomized $O(p/\varepsilon)$-pass algorithm storing $O(p^3k\log(k)/\varepsilon^3)$ elements gives a $(p+1+\barγ+O(\varepsilon))$-approximation, where $\bar{gamma}$ is the guarantee of the best-known offline algorithm for the same problem.

연구 동기 및 목표

• 제한된 메모리 환경에서 스트리밍 모델에서 p-매치로이드 제약 조건 하에 하위모듈러 함수 최대화 문제에 도전한다.
• 오프라인 대비 약한 근사 보장을 제공하는 기존 스트리밍 알고리즘을 향상시킨다.
• 단조 하위모듈러 함수에 대해 오프라인 국소 탐색 알고리즘 성능에 가까운 다중 통과 스트리밍 알고리즘을 설계한다.
• 일반적인 비음수 하위모듈러 함수를 다룰 수 있도록 프레임워크를 확장한다.
• 최고의 알려진 오프라인 알고리즘 성능에 가까운 근사 비율을 달성하면서도, 기저 집합 크기와 무관하게 일정한 수의 통과를 유지한다.

제안 방법

• O(k/ε²) 크기의 버퍼를 유지하면서 다중 통과에서 요소를 처리하는 랜덤화된 스트리밍 국소 탐색 알고리즘을 사용한다.
• 각 통과에서, 현재 해를 향상시키는 요소를 버퍼에서 선택하고, 버퍼가 가득 찬 경우 랜덤 선택 메커니즘을 사용한다.
• 하위모듈러성과 농도 경계를 기반으로 한 확률적 분석을 통해 통과 간 기대 마진 수익을 제한한다.
• Buchbinder 등의 Lemma 4.1을 활용하여 선택된 집합의 합집합과 최적 해의 기대 함수 값을 하한으로 제한한다.
• f(OPT)의 추정치를 사용해 임계값 α = ε·f(OPT)/(2k)를 설정함으로써, 이진 탐색 또는 두배화를 통한 공간 효율적 근사치를 달성한다.
• 다중 통과를 조합하여 오프라인 국소 탐색 행동을 시뮬레이션하고, 단조 함수에 대해 (p+1+ε)의 OPT 근처로 수렴함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-매치로이드 제약 조건 하에서 단조 하위모듈러 최대화 문제에 대해 다중 통과 스트리밍 알고리즘이 오프라인 국소 탐색 알고리즘에 가까운 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 p-매치로이드 제약 조건 하에서 스트리밍 하위모듈러 최대화 문제에서 통과 수, 공간 사용량, 근사 비율 간의 상호 상관 관계는 무엇인가?
• RQ3 프레임워크는 일정한 통과 수와 낮은 공간을 유지하면서도, 비음수(일반적으로 단조적이지 않은) 하위모듈러 함수를 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ4 근사 보장은 동일 문제에 대해 알려진 최고의 오프라인 알고리즘 성능과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 단조 하위모듈러 함수에 대해 (1+ε)-근사치를 달성하기 위해 필요한 최소 통과 수는 얼마인가?

주요 결과

• 단조 하위모듈러 함수에 대해 알고리즘은 O(p/ε) 통과와 O(k) 공간을 사용해 (p+1+ε)-근사값을 달성한다.
• 매트로이드 제약 조건 하에서는 (2+ε)-근사값, 그래프의 매칭 제약 조건 하에서는 (3+ε)-근사값을 달성한다.
• 일반적인 비음수 하위모듈러 함수에 대해 알고리즘은 O(p/ε) 통과와 O(p³k log k / ε³) 공간을 사용해 (p+1+γ̄_off+O(ε))-근사값을 달성한다.
• 알고리즘은 ε에 대해 무관하다: 어떤 수의 통과 후에도 중단할 수 있으며, 통과 수에 비례한 보장을 유지한다.
• 분석은 통과 간 요소 선택 확률을 제한하고, 하위모듈러성을 적용하여 해의 성장과 OPT 간의 관계를 설정한다.
• 공간 복잡도는 거의 최적으로, k에 대해 로그 인자만 추가되며, 통과 수는 기저 집합 크기와 무관하다.