[논문 리뷰] Improved Quantum Algorithms for Fidelity Estimation

András Gilyén, Alexander Poremba|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 21

한 줄 요약

논문은 저랭크(regime)에서 입증 가능한 보장을 갖춘 fidelity 추정을 위한 새로운 양자 알고리즘을 제시하며, block-encodings, QSVT, 및 spectral sampling을 활용하고 일반적인 경우에 대한 hardness 및 샘플-복잡도 하부한계를 증명한다.

ABSTRACT

Fidelity is a fundamental measure for the closeness of two quantum states, which is important both from a theoretical and a practical point of view. Yet, in general, it is difficult to give good estimates of fidelity, especially when one works with mixed states over Hilbert spaces of very high dimension. Although, there has been some progress on fidelity estimation, all prior work either requires a large number of identical copies of the relevant states, or relies on unproven heuristics. In this work, we improve on both of these aspects by developing new and efficient quantum algorithms for fidelity estimation with provable performance guarantees in case at least one of the states is approximately low-rank. Our algorithms use advanced quantum linear algebra techniques, such as the quantum singular value transformation, as well as density matrix exponentiation and quantum spectral sampling. As a complementary result, we prove that fidelity estimation to any non-trivial constant additive accuracy is hard in general, by giving a sample complexity lower bound that depends polynomially on the dimension. Moreover, if circuit descriptions for the relevant states are provided, we show that the task is hard for the complexity class called (honest verifier) quantum statistical zero knowledge via a reduction to a closely related result by Watrous.

연구 동기 및 목표

• 양자 상태 간 신뢰할 수한 fidelity 추정의 필요성을 동기화한다, 특히 고차원 혼합 상태에 대해.
• 저랭크 근사 가정을 만족하는 경우에 대해 증명 가능한 성능 보장을 갖춘 효율적인 양자 알고리즘을 개발한다.
• 새로운 알고리즘을 기존 방법과 비교하고 일반 문제에 대한 하드니스 및 하한을 확립한다.

제안 방법

• QSVT(양자 특이값 변환)을 이용한 차단-인코딩 기반 fidelity 추정으로 sqrt(rho) sqrt(sigma)에 관련된 행렬의 차단-인코딩을 구성한다.
• Hadamard 테스트 및 순수화된 접근을 사용하여 rho, sigma 및 그 변환의 차단-인코딩을 구현·결합한다.
• /Rho의 조건 수를 제한하고 효율적인 추정을 가능하게 하는 부드러운 임계값 버전 rho_theta를 도입한다.
• 고유값/고유벡터를 샘플링하고 Hadamard 테스트를 통해 비대각 원소를 추정하기 위해 양자 스펙트럴 샘플링을 적용한다.
• 스펙트럴 추정용 고유값을 수집하는 데 필요한 샘플 수를 상향하지 않는 쿠폰 수집기 분석을 비균일하게 도입한다.
• 정제된 접근(purified-access)과 샘플링 접근(sampling-access) 워크플로우를 제공하고 이에 대응하는 시간/샘플 복잡도를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적어도 하나의 상태가 대략-low-rank인 경우 fidelity F(rho, sigma)를 효율적으로 추정할 수 있는가?
• RQ2 정제된 접근 모델과 샘플링 접근 모델에서 fidelity 추정의 시간/샘플 복잡도는 어떻게 다른가?
• RQ3 일반적으로 fidelity 추정이 어려운가, 그렇다면 어떤 프레임워크나 하드니스 클래스 아래에서 그런가?
• RQ4 rho의 절단(부드러운 임계화)이 추정 정확도와 자원 요구에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 상수 정밀도 fidelity 추정에 대한 현실적인 샘플 복잡도 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 차단-인코딩 기반 fidelity 추정 알고리즘은 purified-access 모델에서 다항식 시간 및 샘플 복잡도(poly(r, 1/ε))를 달성하며, 복잡도는 Õ(r^{5/2}/ε^{5})(T_ρ+T_σ)로 확장될 수 있으며 θ/Δ 매개변수에 따른 추가 정제가 있다.
• 스펙트럴 샘플링 알고리즘은 purified-access 모델에서 ε-근사 fidelity 추정치를 Õ((T_ρ+T_σ)/(θ^{10.5} ε^4 Δ) + T_ρ/(θ^3 min{θ^3 ε, Δ}^3)) 시간에 제공하며, 절단에 따른 저랭크 영역에서 유리한 동작을 보인다.
• 논문은 어떤 비자명한 상수 추가 정확도에 대한 Fidelity 추정이 일반적으로 QSZK_HV-hard임을 증명한다.
• 보조 정리 및 명제는 다항적 복제 복잡도 하한을 확립한다: 상수 정밀도 추정에는 적어도 Ω(r/δ) 복제가 필요하며, 특정 설정에서 더 강한 하한이 있다.
• 선정된 purified-access 접근 방식에 비해 차단-인코딩 방법은 랭크와 오차에 대한 의존도를 개선하고, 스펙트럴 샘플링은 저랭크 시나리오에서 보완적 강건성을 제공한다.
• 저자들은 동시 연구를 언급하고, 스펙트랭 샘플링 방법이 악조건에서 느리지만 실질적 저랭크 사례에서 절단으로 큰 이점을 얻는다고 강조한다.