[논문 리뷰] Improved quantum test for linearity of a Boolean function

Kaushik Chakraborty, Subhamoy Maitra|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 부울 함수가 애फ인(선형 또는 상수항이 있는)인지, 또는 어떤 애프린 함수에서 ε-만큼 떨어져 있는지를 테스트하는 양자 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 Deutsch-Jozsa 알고리즘과 Grover 알고리즘을 조합하여 O(ε⁻¹ᐟ²)의 쿼리 복잡도를 달성한다. 방법은 Deutsch-Jozsa 알고리즘의 출력에 대해 암함수 증폭을 적용하여 비애프린성을 높은 확률로 탐지하며, 이는 이전의 양자 복잡도 한계인 O(ε⁻²ᐟ³)를 개선한다.

ABSTRACT

Let a Boolean function be available as a black-box (oracle) and one likes to devise an algorithm to test whether it has certain property or it is $ε$-far from having that property. The efficiency of the algorithm is judged by the number of calls to the oracle so that one can decide, with high probability, between these two alternatives. The best known quantum algorithm for testing whether a function is linear or $ε$-far $(0 < ε< \frac{1}{2})$ from linear functions requires $O(ε^{-\frac{2}{3}})$ many calls [Hillery and Andersson, Physical Review A 84, 062329 (2011)]. We show that this can be improved to $O(ε^{-\frac{1}{2}})$ by using the Deutsch-Jozsa and the Grover Algorithms.

연구 동기 및 목표

• 부울 함수가 애프린인지 또는 애프린 함수에서 ε-만큼 떨어져 있는지를 테스트하기 위한 양자 쿼리 복잡도를 줄이는 것.
• 양자 암함수 증폭을 활용하여 기존의 O(ε⁻²ᐟ³) 양자 복잡도 한계를 초월하는 선형성 테스팅을 향상시키는 것.
• 양자 쿼리 복잡도에서 성질 테스팅을 위한 월리스 스펙트럼, Deutsch-Jozsa 알고리즘 및 Grover 알고리즘 간의 상호작용을 탐구하는 것.
• Grover 알고리즘의 최적성에 의해 암시되는 이론적 한계에 가까운 더 날카운 쿼리 복잡도 한계를 설정하는 것.

제안 방법

• 부울 함수 오라클에 대해 Deutsch-Jozsa 알고리즘을 적용하여 월리스 스펙트럼 정보를 코딩한 양자 상태 |Ψ⟩를 준비한다.
• 결과 상태를 측정하여 후보 입력 a⁽⁰⁾를 확보한다. 이는 함수가 애프린일 경우 유일하게 비영인 확률을 가진 입력이 되어야 한다.
• 모든 입력을 a⁽⁰⁾를 제외한 상태로 표시하는 Grover 스타일 오라클 g(x)를 구성하여 |a⁽⁰⁾⟩에 수직인 부분공간에서의 암함수 증폭을 가능하게 한다.
• t번의 반복 동안 Grover 확산 연산자와 오라클 g를 결합하여 |a⁽⁰⁾⟩를 제외한 상태의 암함수를 증폭한다.
• 함수가 애프린이 아니라면, t번의 반복 후 |a⁽⁰⁾⟩의 암함수가 감소하여 다른 측정 결과를 유도할 것이다.
• 최종 측정 결과가 a⁽⁰⁾와 다를 경우 알고리즘을 종료하고 비애프린성을 보고하며, 그렇지 않다면 높은 신뢰도로 함수가 애프린이라고 보고한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘을 활용하여 애프린 함수 테스팅의 쿼리 복잡도를 O(ε⁻²ᐟ³)를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 Deutsch-Jozsa 알고리즘의 출력을 성질 테스팅에서 암함수 증폭의 기초로 활용할 수 있는가?
• RQ3 ε-거리 함수에 대해 비애프린성을 높은 확률로 탐지하기 위해 최적의 Grover 반복 수는 얼마인가?
• RQ4 쿼리 복잡도는 ε에 따라 어떻게 스케일링되며, Grover 알고리즘의 최적성에 의해 암시되는 이론적 하한에 가까워질 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 O(ε⁻¹ᐟ²)의 쿼리 복잡도를 달성하여 이전의 양자 복잡도 한계인 O(ε⁻²ᐟ³)를 개선한다.
• 알고리즘은 Deutsch-Jozsa 알고리즘의 출력에 대해 암함수 증폭을 적용하여 비애프린성을 높은 확률로 탐지한다.
• ε-거리 함수의 경우, t ≈ O(√(1/ε))번의 Grover 반복 후 初기 상태 |a⁽⁰⁾⟩의 암함수가 감소하여, 측정 결과가 a⁽⁰⁾와 다를 확률이 최소 2/3가 된다.
• 분석 결과, 함수가 ε-거리일 경우 sinθ ≥ √(2ε)임을 보여주며, 이는 비애프린성 탐지 확률을 증폭하기 위해 Grover 방법을 사용할 수 있음을 시사한다.
• 상수 거리 δ로 애프린 집합에서 떨어진 함수의 경우 알고리즘이 O(2ⁿᐟ²) 시간 내에 실행되며, δ = 2ⁿ/ζ(n)일 경우 O(√ζ(n)) 시간 내에 실행되어 매우 비선형 함수에 대해 효율적이다.
• 결과적으로 Grover 알고리즘의 최적성 때문에 O(ε⁻¹ᐟ²) 이하의 향상은 불가능할 것으로 보이며, 이는 제안된 방법이 거의 최적임을 시사한다.