[논문 리뷰] Improved recovery guarantees and sampling strategies for TV minimization in compressive imaging

Ben Adcock, Nick Dexter외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 17.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 25인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 및 워쇼-하다마드 변환을 사용한 압축 영상에서 총변동(TV) 최소화의 향상된 이론적 복원 보장을 및 최적의 샘플링 전략을 제시한다. $ m \gtrsim s \times \log^2(s) \times \log^4(N) $ 측정값이 충분하여 $ d \geq 1 $ 차원에서 랜덤 샘플링 하에 안정적이고 강건한 복원이 가능함을 입증하였으며, 2차원에서 이전의 경계에 비해 $ \log(s) \times \log(N) $ 가량 향상되었고, 구조화된 이진 워쇼 샘플링에 대해 이론적 보장을 처음으로 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the use of Total Variation (TV) minimization for compressive imaging; that is, image reconstruction from subsampled measurements. Focusing on two important imaging modalities -- namely, Fourier imaging and structured binary imaging via the Walsh--Hadamard transform -- we derive uniform recovery guarantees asserting stable and robust recovery for arbitrary random sampling strategies. Using this, we then derive a class of theoretically-optimal sampling strategies. For Fourier sampling, we show recovery of an image with approximately $s$-sparse gradient from $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^4(N)$ measurements, in $d \geq 1$ dimensions. When $d = 2$, this improves the current state-of-the-art result by a factor of $\log(s) \cdot \log(N)$. It also extends it to arbitrary dimensions $d \geq 2$. For Walsh sampling, we prove that $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^2(N/s) \cdot \log^3(N) $ measurements suffice in $d \geq 2$ dimensions. To the best of our knowledge, this is the first recovery guarantee for structured binary sampling with TV minimization.

연구 동기 및 목표

• 푸리에 및 구조화된 이진(워쇼-하다마드) 샘플링에 대해 임의의 랜덤 샘플링 전략 하에서 압축 영상에서 TV 최소화의 균일한 복원 보장을 수립하기 위해.
• 안정적이고 강건한 영상 재구성을 위해 필요한 측정값 수를 최소화하는 이론적으로 최적의 샘플링 전략을 도출하기 위해.
• 특히 2차원 이상의 영상에 대해 TV 최소화의 기존 복원 경계를 향상시키기 위해.
• 워쇼-하다마드 변환을 사용한 구조화된 이진 샘플링에 대해 TV 최소화의 이론적 복원 보장을 처음으로 제공하기 위해.
• 기울기 희소성 $ s $ 와 영상 크기 $ N $ 에 기반하여 정확한 재구성을 위해 필요한 측정값 수 $ m $ 을 정량화하기 위해.

제안 방법

• 압축 감지 이론을 활용하여, 임의의 샘플링 하에서 TV 최소화의 균일한 복원 보장을 유도함으로써 노이즈에 대한 안정성과 강건성을 확보함.
• 기울기 희소성과 복원 오차를 분석하기 위해 TV 반노름과 하르 웨이브렛 계수 간의 관계를 활용함.
• 푸리에 및 워쇼-하다마드 변환에 대한 랜덤 샘플링 행렬의 확률적 분석을 통해 측정값 경계를 유도함.
• 노이즈 제약 조건 $ \|Az - y\|_{\ell^2} \leq \eta $ 를 갖는 제약 조건 하의 기울기의 $ \ell^1 $-최소화 문제로 재구성 문제를 설정함.
• 다차원에서 등방성 TV 반노름의 $ \ell^{2,1} $-노름 구조를 다룰 수 있는 새로운 분석 프레임워크를 도입함.
• 고차원 확률론 및 랜덤 행렬 이론의 결과를 적용하여 기울기 희소 신호에 대한 제한된 입도 성질(RIP)을 경계함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 푸리에 샘플링 하에서 $ d $-차원 영상의 기울기가 약간 $ s $-희소인 경우, TV 최소화를 통해 안정적으로 복원하기 위해 필요한 최소 측정값 수 $ m $ 는 얼마인가요?
• RQ2 푸리에 기반 압축 영상에 대해 이론적 복원 보장을 고차원 영상($ d \geq 2 $)으로 확장할 수 있나요?
• RQ3 워쇼-하다마드 변환을 사용한 압축 영상에서 TV 최소화의 최적 샘플링 전략은 무엇인가요?
• RQ4 기존 이론적 결과가 없는 이 설정에서, 구조화된 이진 샘플링에 대해 TV 최소화를 통한 균일한 복원 보장을 확보할 수 있나요?
• RQ5 새로운 경계들이 $ s $, $ N $, $ d $ 에 대한 의존성 측면에서 기존 최첨단 결과와 비교해 볼 때 어떻게 되나요?

주요 결과

• 다차원 푸리에 샘플링의 경우, $ m \gtrsim s \cdot \log^2(s) \cdot \log^4(N) $ 측정값이 $ s $-희소 기울기를 갖는 영상의 안정적이고 강건한 복원을 위해 충분함.
• 2차원의 경우, 이는 이전 최첨단 경계를 $ \log(s) \cdot \log(N) $ 배만큼 향상시키며, 상당한 정량적 개선을 나타냄.
• 복원 보장은 임의의 차원 $ d \geq 1 $ 에까지 확장되어 다차원 압축 영상 재구성의 일반적 프레임워크를 제공함.
• 구조화된 이진 워쇼-하다마드 샘플링의 경우, $ m \gtrsim s \cdot \log^2(s) \cdot \log^2(N/s) \cdot \log^3(N) $ 측정값이 충분하며, 이는 이 설정에 대해 이론적 보장을 처음으로 제공함.
• 결과는 균일한 복원 보장을 수립하였으며, 이는 고려하는 모든 약간 기울기 희소 영상에 대해 높은 확률로 단일 랜덤 샘플링 추출만으로도 복원이 가능함을 의미함.
• 유도된 경계는 로그 요인까지 최적이며, 측정값 수를 최소화하는 데 이론적으로 최적의 샘플링 전략임.