[논문 리뷰] Improved Set-Based Symbolic Algorithms for Parity Games

Krishnendu Chatterjee, Wolfgang Dvořák외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Formal Methods in Verification참고 문헌 22인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 페어리 게임을 해결하기 위한 두 가지 개선된 집합 기반 기호 알고리즘을 제안하며, 기호 연산 수를 초지수적으로 줄이면서도 선형 공간 복잡도를 유지한다. 첫 번째 알고리즘은 O(n^{c/2+1})개의 기호 연산과 O(n)의 공간을 요구하며, 두 번째 알고리즘은 이를 O(n^{c/3+1})으로 줄여 기호 연산 수를 감소시킨다. 두 알고리즘 모두 선형 공간을 유지하며, 페어리 게임에 대해 기호 연산 수가 초지수적임과 동시에 선형 공간을 사용하는 최초의 알고리즘으로서의 의의를 지닌다.

ABSTRACT

Graph games with ω-regular winning conditions provide a mathematical framework to analyze a wide range of problems in the analysis of reactive systems and programs (such as the synthesis of reactive systems, program repair, and the verification of branching time properties). Parity conditions are canonical forms to specify ω-regular winning conditions. Graph games with parity conditions are equivalent to μ-calculus model checking, and thus a very important algorithmic problem. Symbolic algorithms are of great significance because they provide scalable algorithms for the analysis of large finite-state systems, as well as algorithms for the analysis of infinite-state systems with finite quotient. A set-based symbolic algorithm uses the basic set operations and the one-step predecessor operators. We consider graph games with $n$ vertices and parity conditions with $c$ priorities. While many explicit algorithms exist for graph games with parity conditions, for set-based symbolic algorithms there are only two algorithms (notice that we use space to refer to the number of sets stored by a symbolic algorithm): (a) the basic algorithm that requires $O(n^c)$ symbolic operations and linear space; and (b) an improved algorithm that requires $O(n^{c/2+1})$ symbolic operations but also $O(n^{c/2+1})$ space (i.e., exponential space). In this work we present two set-based symbolic algorithms for parity games: (a) our first algorithm requires $O(n^{c/2+1})$ symbolic operations and only requires linear space; and (b) developing on our first algorithm, we present an algorithm that requires $O(n^{c/3+1})$ symbolic operations and only linear space. We also present the first linear space set-based symbolic algorithm for parity games that requires at most a sub-exponential number of symbolic operations.

연구 동기 및 목표

• 기본 형식 검증 및 합성에 핵심적인 역할을 하는 페어리 게임에 대한 기호 알고리즘의 확장성 격차를 해소하기 위해.
• 기존의 집합 기반 기호 알고리즘에서 기호 연산 수와 공간 복잡도 사이의 상충 관계를 극복하기 위해.
• 큰 또는 무한 상태 시스템의 효율적 분석을 가능하게 하기 위해, 기호 연산 수를 초지수적으로 줄이면서도 선형 공간을 유지하는 알고리즘을 설계하기 위해.
• 페어리 게임에 대해 기호 연산 수가 초지수적이면서도 공간 복잡도가 선형인 최초의 기호 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 첫 번째 알고리즘은 도미네이션 분해 기반의 재귀적 분해를 사용하며, 기호 전이의 역상 계산과 집합 연산을 활용해 기호 연산 수를 줄인 승리 영역를 고립한다.
• 기본적인 집합 연산과 한 단계 이전 상태(Pre) 연산만을 사용하여 기호적으로 진행도 측정치를 향상시키며, 선형 공간을 유지한다.
• 두 번째 알고리즘은 첫 번째 알고리즘을 개선하기 위해 재귀적 구조를 정교화하고, 더 큰 단위의 기호 기여자 계산을 사용하여 기호 연산 수를 추가로 줄인다.
• 진행도 측정치 알고리즘의 기호 변형을 활용하며, 진행도 측정치는 집합으로 표현되고 기호 CPre 및 집합 연산을 통해 갱신된다.
• 중간 진행도 측정치 상태를 저장하지 않고 필요로 할 때마다 필요한 집합을 재계산함으로써 선형 공간을 유지한다.
• 각 플레이어의 승리 전략은 기호 CPre 및 집합 교차 연산을 병렬로 사용하여 계산되며, 전략은 기여자 및 전이의 역상 계산에서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기호 연산 수를 초지수적으로 줄이면서도 선형 공간만을 사용하는 집합 기반 기호 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 기호 연산 수를 줄이되, 공간 복잡도를 선형을 초과하지 않도록 할 수 있는가?
• RQ3 기호 연산 수가 초지수적이고 공간 사용이 선형인 기호 알고리즘을 개발할 수 있는가? 이는 큰 또는 무한 상태 시스템의 실용적 분석에 기여한다.
• RQ4 진행도 측정치 기법을 기호 환경에 어떻게 적응시켜 효율적이고 공간 효율적인 승리 영역 계산을 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 첫 번째 알고리즘은 O(n^{c/2+1})개의 기호 연산과 O(n)의 공간을 달성하며, 이전의 O(n^{c/2+1}) 공간 알고리즘보다 크게 향상되었고, 동일한 기호 연산 수를 유지한다.
• 두 번째 알고리즘은 기호 연산 수를 O(n^{c/3+1})로 줄였고, 여전히 O(n)의 공간만을 사용하여 효율성 면에서 상당한 향상이 이루어졌다.
• 논문은 페어리 게임에 대해 기호 연산 수가 초지수적이면서도 공간 복잡도가 선형인 최초의 기호 알고리즘을 제시하며, 기호 알고리즘 설계 분야에서 오랫동안 남아있던 핵심 열린 문제를 해결했다.
• 승리 전략은 승리 집합 계산과 동일한 기호 연산 및 공간 복잡도 범위 내에서 계산될 수 있으며, 전략의 완전한 합성을 가능하게 한다.
• 기호 진행도 측정치 구성은 O(n)개의 CPre 연산과 각 플레이어당 O(c·n²)개의 집합 연산을 사용하여 효율적인 전략 추출을 가능하게 한다.
• 이 알고리즘들은 불리안 또는 유한 정수 변수를 가진 유한 상태 시스템뿐 아니라, 타이밍 오ート마타나 하이브리드 시스템과 같은 유한 몫을 가지는 무한 상태 시스템에도 적용 가능하다.