[논문 리뷰] Improvements of Some Numerical radius inequalities

Mohammad W. Alomari|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 21.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 유계 선형 연산자에 대한 고전적 Kittaneh 수치 반지름 부등식을 개선하여, |T|와 |T*| 간의 스펙트럼 차이의 하한을 포함한 더 날카운 상한을 도입한다. 혼합 샤르스키 불등식과 푸루타 유형 추정을 사용하여, 표준 $ w^2(T) \leq \frac{1}{2}\|T^*T + TT^*\| $를 개선한 결과를 도출하며, $ \langle |T|x,x \rangle - \langle |T^*|x,x \rangle $를 기반으로 한 명시적 수정 항을 통해 수치 반지름 추정의 정밀도를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

In this work, we improve and refine some numerical radius inequalities. In particular, for all Hilbert space operators $T$, the celebrated Kittaneh inequality reads: \begin{align*} \frac{1}{4}\left\| T^*T + TT^* ight\|\le w^{2 }\left(T ight) \le \frac{1}{2}\left\| T^*T + TT^* ight\|. \end{align*} In this work we provide some important refinements for the upper bound of the Kittaned inequality. Indeed, we establish \begin{align*} w^{2 }\left(T ight) \le \frac{1}{2}\left\| T^*T + TT^* ight\| - \frac{1}{4} \mathop {\inf }\limits_{\left\| x ight\| = 1} \left( {\left\langle {\left| T ight|x,x} ight angle - \left\langle {\left| T^* ight|x,x} ight angle } ight)^2, \end{align*} which also refined and improved as \begin{align*} w^{2 }\left(T ight) \le \frac{1}{2}\left\| T^*T + TT^* ight\| - \frac{1}{2} \mathop {\inf }\limits_{\left\| x ight\| = 1} \left( {\left\langle {\left| T ight|x,x} ight angle - \left\langle {\left| T^* ight|x,x} ight angle } ight)^2, \end{align*} and \begin{align*} w^{2 }\left(T ight) \le \frac{1}{2} \left\|T^*T+TT^* ight\| -\frac{1}{2} \mathop {\inf }\limits_{\left\| x ight\| = 1} \left(\left\langle {\left| T ight|^{2 }x,x} ight angle^{\frac{1}{2}} - \left\langle {\left| T^* ight|^{2 } x,x} ight angle^{\frac{1}{2}} ight)^2, \end{align*} with third improvement \begin{align*} w^2 \left( {T } ight) \le \frac{1}{4 }\left\| {\left| T ight| + \left| {T^* } ight| } ight\|^{2} - \frac{1}{4 }\mathop {\inf }\limits_{\left\| x ight\| = 1} \left( {\left\langle {\left| T ight| x,x} ight angle - \left\langle {\left| {T^* } ight| x,x} ight angle } ight)^2. \end{align*} Other general related results are also considered.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간 연산자에 대한 고전적 Kittaneh 수치 반지름 부등식의 상한을 향상시키는 것.
• |T|와 |T*| 간의 스펙트럼 차이의 하한을 통합하여 기존 부등식을 보완하는 것.
• 혼합 샤르스키 및 푸루타 유형 부등식을 사용하여 상한을 일반화하고 강화하는 것.
• 연산자 노름과 스펙트럼 표현을 바탕으로 수치 반지름에 대한 더 날카운 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 혼합 샤르스키 부등식과 연산자 볼록성 기법을 사용하여 $ w^2(T) $에 대한 개선된 상한을 유도한다.
• 푸루타의 부등식과 그 일반화를 적용하여 수치 반지름 추정에서 교차 항을 제어한다.
• 상한을 강화하기 위해 $ \inf_{\|x\|=1} \left( \langle |T|x,x \rangle - \langle |T^*|x,x \rangle \right)^2 $를 포함하는 새로운 수정 항을 도입한다.
• 카르테시안 분해와 스펙트럼 분석을 사용하여 상한을 $ \|T^*T + TT^*\| $ 및 |T|와 |T*|의 연산자 노름으로 표현한다.
• 홀더 유형 및 멱평균 부등식을 적용하여 연산자 합의 추정을 조합한다.
• 단위 벡터에 대해 최적화하는 파라미터 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $를 도입하여 개선 사슬을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 |T|와 |T*| 간의 스펙트럼 차이를 통합함으로써 Kittaneh의 수치 반지름 부등식의 상한을 개선할 수 있는가?
• RQ2 푸루타 유형 및 혼합 샤르스키 부등식은 어떻게 더 날카운 수치 반지름 추정에 기여하는가?
• RQ3 $ \langle |T|x,x \rangle - \langle |T^*|x,x \rangle $의 하한이 $ w^2(T) $의 상한을 개선하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 개선은 $ T|T|^{\alpha+\beta-1} + S|S|^{\gamma+\delta-1} $와 같은 연산자 합으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 원래 Kittaneh 상한에 비해 개선을 최대화하는 최적의 수정 항 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $ w^2(T) \leq \frac{1}{2}\|T^*T + TT^*\| - \frac{1}{4}\inf_{\|x\|=1} \left( \langle |T|x,x \rangle - \langle |T^*|x,x \rangle \right)^2 $를 확립하여 원래 Kittaneh 부등식을 개선한다.
• 더 강력한 형태가 도출된다: $ w^2(T) \leq \frac{1}{2}\|T^*T + TT^*\| - \frac{1}{2}\inf_{\|x\|=1} \left( \langle |T|x,x \rangle - \langle |T^*|x,x \rangle \right)^2 $로 상수 계수를 개선한다.
• 스펙트럼 평균의 $ \ell^2 $-노름을 사용한 다른 개선 형태가 제시된다: $ w^2(T) \leq \frac{1}{2}\|T^*T + TT^*\| - \frac{1}{2}\inf_{\|x\|=1} \left( \| |T|x \| - \| |T^*|x \| \right)^2 $.
• 연산자 합에 대해서는 $ w(T|T|^{\alpha+\beta-1} + S|S|^{\gamma+\delta-1}) \leq \cdots $와 같은 상한이 수정 항을 포함하여 도출된다.
• S = T일 경우 상한은 $ w(T) \leq \frac{1}{2}\| |T| + |T^*| \|^2 - \frac{1}{4}\inf_{\|x\|=1} \left( \langle |T|x,x \rangle - \langle |T^*|x,x \rangle \right)^2 $로 줄어들며, 이는 부등식의 새로운 형태를 제공한다.
• 결과는 임의의 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta \geq 0 $이고 $ \alpha + \beta \geq 1 $, $ \gamma + \delta \geq 1 $일 때 일반화되며, 강건성과 광범위한 적용 가능성을 보여준다.