[논문 리뷰] Improvements to the number field sieve for non-prime finite fields

Razvan Barbulescu, Pierrick Gaudry외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 04.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 중간에서 큰 특성의 비소수 유한체에서 이산 로그를 계산하기 위한 숫자 필드 필터(NFS)를 향상시켜, 일반화된 조우-러시에 방법과 켤레 방법이라는 두 가지 새로운 다항식 선택 기법을 도입함으로써 이론적 복잡도를 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{96/9})$로 개선하고, 소수 $p$가 80진수 자릿수를 가지는 $\mathbb{F}_{p^2}$에서 실용적인 기록 계산을 성공적으로 수행하였다.

ABSTRACT

We propose various strategies for improving the computation of discrete logarithms in non-prime fields of medium to large characteristic using the Number Field Sieve. This includes new methods for selecting the polynomials; the use of explicit automorphisms; explicit computations in the number fields; and prediction that some units have a zero virtual logarithm. On the theoretical side, we obtain a new complexity bound of $L_{p^n}(1/3,\sqrt[3]{96/9})$ in the medium characteristic case. On the practical side, we computed discrete logarithms in $F_{p^2}$ for a prime number $p$ with $80$ decimal digits.Warning: This unpublished version contains some inexact statements.

연구 동기 및 목표

• 중간 및 큰 특성의 비소수 유한체에서 이산 로그 계산의 효율성을 향상시키기 위해.
• 특히 페어링 기반 암호에서 중요한 대상인 큰 특성의 비소수 필드에서 NFS 변종의 실용적 구현 부족 문제를 해결하기 위해.
• 부드러움 검사에 사용되는 노름을 줄이는 데 기여하는 새로운 다항식 선택 전략을 개발하여, NFS의 이론적 및 실용적 복잡도를 향상시키기 위해.
• 특성 $p$가 80진수 자릿수인 $\mathbb{F}_{p^2}$에서 실용적인 기록 계산을 수행하여 이론적 개선 사항을 검증하기 위해.
• CADO-NFS를 사용한 완전한 구현 파이프라인 제공, 관계 수집, 갈로아 작용을 활용한 필터링, GPU 가속 선형 대수 계산 포함.

제안 방법

• 이전 연구를 확장하여 노름 크기와 부드러움 확률 향상을 위한 일반화된 조우-러시에 다항식 선택 방법을 제안함.
• 명시적 자기동형사상을 사용하여 더 작은 노름을 가지는 다항식을 구성하고, 슈레로카우어 맵의 필요성을 줄이는 켤레 방법을 도입함.
• 관계 수집 단계에서 필터링 단계에서 더 큰 노름을 갖는 $g$-측에서 집중하기 위해 특수-\mathfrak{q} 기법을 적용함.
• 필터링 단계에서 갈로와 작용을 적용하여 $x \mapsto x^{-1}$에 대한 궤도 대표자를 선택함으로써 행렬 크기를 줄이고 부호 정보를 유지함.
• 스parser 선형 대수 계산을 위해 제리젤리의 GPU 최적화 블록 위드먼 알고리즘을 사용하며, 정밀하게 선택된 다항식을 통해 슈레로카우어 맵을 피함.
• 소수의 차수 2 이상의 이상수를 다루는 데 포함된 래티스 필터링과 특수-q 내림 단계를 통해 개별 로그 계산을 수행함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 새로운 다항식 선택 기법이 비소수 유한체에서의 NFS에서 노름 크기를 줄여 부드러움 확률 향상에 기여할 수 있는가?
• RQ2 켤레 또는 일반화된 조우-러시에 방법을 사용할 경우, 중간 특성의 비소수 필드에서 NFS의 이론적 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ3 이론적 복잡도 향상 사항은 실생활에서, 특히 $\mathbb{F}_{p^2}$와 같은 큰 특성의 필드에서 실현 가능한가?
• RQ4 명시적 자기동형사상과 갈로와 불변 필터링의 사용이 NFS의 전체 성능과 행렬 크기에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 특성 $p$가 80진수 자릿수인 $\mathbb{F}_{p^2}$에서 최적화된 NFS 파이프라인을 통해 이산 로그 계산이 실현 가능한가?

주요 결과

• 켤레 방법은 중간 특성의 유한체에서 이론적 복잡도 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{96/9})$를 달성하며, 이는 이전의 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{128/9})$ 및 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{2^{13}/3^6})$의 경계를 초월한다.
• 특성 $p$가 80진수 자릿수인 $\mathbb{F}_{p^2}$에서 실용적인 이산 로그 계산이 성공적으로 수행되어, 큰 특성의 비소수 필드에서 새로운 기록을 수립하였다.
• 관계 수집 단계에서 약 1,500만 개의 관계가 생성되었으며, 단일 인텔 Xeon E5-2650 코어에서 약 68코어일을 소요하였다.
• 필터링 단계에서 갈로와 대칭성을 활용하여 839,244행 및 839,244열의 행렬으로 축소되었고, 평균 각 행당 83.6개의 비영원소를 유지함으로써 부재를 최소화하였다.
• GPU 하나인 NVIDIA GTX 680에서 비블록킹 블록 위드먼 구현을 사용하여 선형 대수 단계가 30.3시간 내로 완료되었다.
• 임의의 원소 $s$에 대한 최종 개별 로그 계산은 몇 분 내로 래티스 필터링과 특수-q 내림 단계를 통해 완료되었으며, 결과로 $\log_G(s) = 431724646474717499532141432099069517832607980262114471597315861099398586114668 \mod \ell$를 도출하였다.