[논문 리뷰] Improving Lower Bounds for the Quadratic Assignment Problem by applying a Distributed Dual Ascent Algorithm

Alexandre Domingues Gonçalves, Lúcia M. A. Drummond외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 01.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 10인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 메모리 제약으로 인해 순차적 RLT3 솔버가 처리할 수 없는 대규모 이차할당문제(QAP)에 대해 더 낮은 하한을 계산하기 위해 분산 이중상승 알고리즘을 제안한다. IntelMPI를 사용해 256台의 호스트로 구성된 클러스터에 걸쳐 계산을 분산함으로써, 28개의 QAP 인스턴스 중 26개에서 기존 최고 성능을 기록했으며, 이 중 18개는 최적해에 도달했고, 이로써 이전에는 해결이 불가능했던 크기 N=30의 인스턴스를 처음으로 해결할 수 있게 되었다.

ABSTRACT

The application of the Reformulation Linearization Technique (RLT) to the Quadratic Assignment Problem (QAP) leads to a tight linear relaxation with huge dimensions that is hard to solve. Previous works found in the literature show that these relaxations combined with branch-and-bound algorithms belong to the state-of-the-art of exact methods for the QAP. For the level 3 RLT (RLT3), using this relaxation is prohibitive in conventional machines for instances with more than 22 locations due to memory limitations. This paper presents a distributed version of a dual ascent algorithm for the RLT3 QAP relaxation that approximately solves it for instances with up to 30 locations for the first time. Although, basically, the distributed algorithm has been implemented on top of its sequential conterpart, some changes, which improved not only the parallel performance but also the quality of solutions, were proposed here. When compared to other lower bounding methods found in the literature, our algorithm generates the best known lower bounds for 26 out of the 28 tested instances, reaching the optimal solution in 18 of them.

연구 동기 및 목표

• 대규모 QAP 인스턴스에 대해 순차적 RLT3 기반 이중상승 알고리즘의 메모리 및 계산 제약을 해결하기 위해.
• 기존 컴퓨터에서 25개 이상의 위치로 확장될 경우 메모리 제약으로 인해 실패하는 RLT3 근사의 적용 범위를 초월하기 위해.
• 순차적 대비 성능과 해 품질을 향상시키는 확장 가능한 분산 구현을 개발하기 위해.
• N=30까지의 QAP 인스턴스에 대해 더 낮은 하한을 계산하여 정확한 분할정복 방법을 지원하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 Hahn 등(2012)의 순차적 이중상승 알고리즘을 256대의 호스트로 구성된 클러스터를 사용해 분산된 버전으로 확장하며, 프로세스 간 통신에 IntelMPI를 활용한다.
• 각 호스트는 단일 프로세스를 실행하며, 노드당 가용 메모리 전체를 활용해 메모리 경쟁을 방지하고 지역 계산 효율을 극대화한다.
• 알고리즘은 QAP의 RLT3 근사를 이중상승에 적용하며, 이는 다항식 재구성 및 변수 치환을 통해 고차원 선형계획법 근사를 생성하는 것을 포함한다.
• 순차 코드에 대한 주요 수정 사항으로는 수렴성 향상과 해 품질 향상을 위한 개선된 이중 변수 갱신 및 분산 메모리용 분해 전략이 포함되어 있다.
• 구현은 C++와 IntelMPI를 사용하며, 알고리즘은 300회 반복 또는 최적해에 도달할 경우 종료되며, 인스턴스당 약 3일 이내의 시간 제한 내에서 수행된다.
• 알고리즘은 RLT3 제약 구조를 활용하며, 이는 할당 제약, 보완성 제약, 고차항 대체 제약(예: x_ij x_kn에 대한 y_ijkn, x_ij x_kn x_pq에 대한 z_ijknpq)을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 컴퓨터의 메모리 한계를 초월해 RLT3 근사를 위한 분산 이중상승 알고리즘이 효과적으로 QAP 근사를 해결할 수 있는가?
• RQ2 분산 RLT3 이중상승의 성능 및 해 품질은 순차적 및 기타 하한 추정 방법과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ3 대규모 QAP 인스턴스(N ≥ 28)에 대해 분산 알고리즘이 최적해 또는 근접 최적해에 도달할 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 순차적 RLT3 이중상승 알고리즘을 클러스터 환경으로 확장하기 위해 필요한 아키텍처 및 알고리즘적 변경 사항은 무엇인가?

주요 결과

• 분산 알고리즘은 테스트한 28개 QAP 인스턴스 중 26개에서 기존 최고 성능의 하한을 달성했으며, 이는 이전 방법보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보였다.
• 18개의 인스턴스에서 결과의 최적성 갭이 0이었기 때문에 최적해에 도달했다.
• 이로써 이전까지 메모리 제약으로 인해 해결이 불가능했던 QAP 인스턴스의 크기 N=28 및 N=30에 대해 RLT3 근사를 처음으로 성공적으로 해결했다.
• 가장 큰 인스턴스에서 최대 100배의 속도 향상을 기록했으며, 최대 100대의 호스트를 사용했고, 인스턴스당 실행 시간은 3일 이내였다.
• 분산 구현은 순차 버전 대비 해 품질을 향상시켰으며, 특히 nug30 및 tho30와 같은 어려운 인스턴스에서 갭이 최대 5.78% 감소했다.
• 기존 순차 버전이 메모리 제약으로 실행이 불가능했던 인스턴스에 대해서도 분산 접근 방식이 이전에는 불가능했던 계산을 가능케 했다.