[논문 리뷰] Improving the Success Probability for Shor's Factoring Algorithm

Gregor Leander|ArXiv.org|2002. 08. 29.

Cryptography and Data Security인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ y \in \mathbb{Z}_n^* $를 선택할 때 자지 심볼 $ \left(\frac{y}{n}\right) = -1 $를 사용하여 쇼어의 정수 인수분해 알고리즘을 향상시킨다. 이는 $ y $의 모듈로 $ n $에 대한 차수(order)가 짝수임을 보장하고 $ y^k \equiv -1 \pmod{n} $ 실패 케이스를 피하게 하며, 성공 확률을 $ \frac{1}{2} $에서 최소 $ \frac{3}{4} $로 높여 최악의 경우 실패 비율을 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

Given n=p*q with p and q prim and y in Z_{p*q}^*. Shor's Algorithm computes the order r of y, i.e. y^r=1 (mod n). If r=2k is even and y^k e -1 (mod n) we can easily compute a non trivial factor of n: gcd(y^k-1,n). In the original paper it is shown that a randomly chosen y is usable for factoring with probabily {1/2}. In this paper we will show an efficient possibility to improve the lower bound of this probability by selecting only special y in Z_n^* to {3/4}, so we are able to reduce the fault probabilty in the worst case from {1/2} to {1/4}.

연구 동기 및 목표

• 비트리버스의 정수 인수분해 알고리즘에서 실패 확률을 줄이기 위해 비트리버스의 원래 랜덤 선택 방식보다 성공 확률을 높이는 데 목적이 있다.
• 모듈로 $ n $에서의 차수가 짝수이고 $ y^k \equiv -1 \pmod{n} $ 실패 케이스를 피할 수 있는 입력 클래스 $ y \in \mathbb{Z}_n^* $를 특정하는 것.
• 쇼어의 원래 랜덤 선택 방식을 초월해 성공 확률의 하한을 높이는 결정론적 사전처리 기준—자지 심볼을 이용한 것—을 제공하는 것.
• 자지 심볼 $ \left(\frac{y}{n}\right) = -1 $를 갖는 $ y $를 선택할 경우 성공 확률이 최소 $ \frac{3}{4} $임을 증명하는 것. 이는 랜덤 $ y $에서의 $ \frac{1}{2} $ 하한보다 향상된 결과이다.

제안 방법

• 모듈로 $ n $에서의 차수가 보장되는 $ y \in \mathbb{Z}_n^* $를 선택하기 위해 자지 심볼 $ \left(\frac{y}{n}\right) = -1 $를 필터링 기준으로 사용한다.
• 만약 $ y $가 $ p $나 $ q $ 모듈로 제곱잉여가 아니라면, 그 차수는 $ p $나 $ q $ 모듈로에서 짝수이며, 이는 모듈로 $ n $에서의 차수 역시 짝수가 됨을 보장한다.
• 레마 5를 적용하여 $ 2 $-adic 값의 표현을 바탕으로 $ \mathbb{Z}_p^* $ 및 $ \mathbb{Z}_q^* $에서 짝수 차수를 갖는 원소를 특성화한다.
• 조건을 만족하지 못하는 $ y^k \equiv -1 \pmod{n} $를 만족하는 $ \left(\frac{y}{n}\right) = -1 $인 $ y \in \mathbb{Z}_n^* $의 수를 세어 실패하는 경우를 파악한다.
• $ m_1 = v_2(p-1) $, $ m_2 = v_2(q-1) $의 2-adic 값에 기반한 케이스 분석을 통해 악성 $ y $의 비율을 계산하여, 이 비율이 $ \frac{1}{4} $ 이하임을 보여준다.
• 모듈로 $ m_1 \neq m_2 $일 경우 성공 확률을 $ P(n) = 1 - \frac{1}{2^{m_2 - m_1 + 1}} $로 유도하며, $ m_1 = m_2 $일 경우 $ 1 $이 되어 최소 $ \frac{3}{4} $의 하한을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쇼어의 인수분해 알고리즘의 성공 확률을 랜덤 입력 선택 방식에서 달성하는 $ \frac{1}{2} $의 하한을 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 $ y \in \mathbb{Z}_n^* $의 어떤 클래스가 모듈로 $ n $에서의 차수가 짝수이고 $ y^k \not\equiv -1 \pmod{n} $임을 보장함으로써 성공적인 인수분해를 가능하게 하는가?
• RQ3 $ p-1 $과 $ q-1 $의 2-adic 값은 실패 조건을 만족하지 못하는 입력의 비율에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 자지 심볼 $ \left(\frac{y}{n}\right) = -1 $을 사용한 결정론적 사전처리 단계를 통해 쇼어 알고리즘의 보장되는 성공 확률을 높일 수 있는가?

주요 결과

• 자지 심볼 $ \left(\frac{y}{n}\right) = -1 $를 갖는 $ y \in \mathbb{Z}_n^* $를 선택하면, 모듈로 $ n $에서의 차수가 짝수임을 보장하며, 성공적인 인수분해를 위한 첫 번째 조건을 충족한다.
• 이러한 $ y $가 $ y^k \not\equiv -1 \pmod{n} $를 만족할 확률은 최소 $ \frac{3}{4} $이며, 이는 최악의 경우 성공 확률을 $ \frac{1}{2} $에서 $ \frac{3}{4} $로 향상시킨다.
• 만약 $ v_2(p-1) = v_2(q-1) $일 경우, $ \left(\frac{y}{n}\right) = -1 $를 만족하는 모든 $ y $가 두 조건을 모두 충족하여 성공 확률이 $ 1 $이 된다.
• 모듈로 $ m_1 \neq m_2 $일 경우, 실패하는 $ y $의 수는 $ \frac{1}{4} \varphi(n) \cdot \frac{1}{2^{m_2 - m_1}} $ 이하로 제한되며, 이는 최대 $ \frac{1}{4} $의 실패 확률을 의미한다.
• 자지 심볼은 다항 시간 내에 계산 가능하므로, 이 방법은 효율적이며 양자 인수분해의 성공률을 높이기 위한 빠른 사전처리를 가능하게 한다.