[논문 리뷰] Impulse Control in Finance: Numerical Methods and Viscosity Solutions

Parsiad Azimzadeh|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 83인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 금융 분야의 이mpulse 제어 문제에서 발생하는 해밀턴-자코비-베르만 준변분부등식(HJBQVI)을 해결하기 위한 증명 가능하게 수렴하는 수치적 방법을 개발한다. 정책 반복 기법을 사용하며, 약하게 연결된 대각우세 행렬(w.c.d.d. 행렬)과 비국소 PDE에 대한 바르레-수가니디스 수렴 이론을 확장한다. 주요 기여는 비국소 HJBQVI에 적용 가능한 단조성, 안정성, 일致성 조건을 갖춘 수치적 스킴의 수렴 프레임워크를 제공하는 것으로, 최적의 환율 제어, 거래비용이 있는 소비, 변동 연금의 보장 최소 인출 수혜를 포함한 응용 사례를 통해 검증된다.

ABSTRACT

The goal of this thesis is to provide efficient and provably convergent numerical methods for solving partial differential equations (PDEs) coming from impulse control problems motivated by finance. Impulses, which are controlled jumps in a stochastic process, are used to model realistic features in financial problems which cannot be captured by ordinary stochastic controls. The dynamic programming equations associated with impulse control problems are Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequalities (HJBQVIs) Other than in certain special cases, the numerical schemes that come from the discretization of HJBQVIs take the form of complicated nonlinear matrix equations also known as Bellman problems. We prove that a policy iteration algorithm can be used to compute their solutions. In order to do so, we employ the theory of weakly chained diagonally dominant (w.c.d.d.) matrices. As a byproduct of our analysis, we obtain some new results regarding a particular family of Markov decision processes which can be thought of as impulse control problems on a discrete state space and the relationship between w.c.d.d. matrices and M-matrices. Since HJBQVIs are nonlocal PDEs, we are unable to directly use the seminal result of Barles and Souganidis (concerning the convergence of monotone, stable, and consistent numerical schemes to the viscosity solution) to prove the convergence of our schemes. We address this issue by extending the work of Barles and Souganidis to nonlocal PDEs in a manner general enough to apply to HJBQVIs. We apply our schemes to compute the solutions of various classical problems from finance concerning optimal control of the exchange rate, optimal consumption with fixed and proportional transaction costs, and guaranteed minimum withdrawal benefits in variable annuities.

연구 동기 및 목표

• 금융 분야의 이mpulse 제어 문제에서 발생하는 해밀턴-자코비-베르만 준변분부등식(HJBQVI)을 해결하기 위한 효율적이고 증명 가능하게 수렴하는 수치적 방법을 개발하는 것.
• 비국소 PDE에 대해 단조성, 안정성, 일치성을 갖춘 수치적 스킴의 수렴을 확립하고, 바르레-수가니디스 프레임워크를 HJBQVI에까지 확장하는 것.
• 고정 및 비율 거래비용이 포함된 전통적인 금융 문제에 제안된 스킴을 적용하는 것: 최적의 환율 제어, 변동 연금의 보장 최소 인출 수혜.
• 약하게 연결된 대각우세(w.c.d.d.) 행렬과 M-행렬을 사용한 HJBQVI 이산화에서 발생하는 벨만 문제의 구조를 분석하는 것.
• 행렬 이론과 점성해 개념을 활용하여 HJBQVI 스킴에 대한 정책 반복의 수렴성을 증명하는 것.

제안 방법

• HJBQVI 이산화에서 유도된 비선형 행렬 방정식(벨만 문제)을 해결하기 위해 정책 반복을 적용하며, 약하게 연결된 대각우세(w.c.d.d.) 행렬 이론을 통해 수렴이 보장된다.
• 직접 제어 스킴과 페널티 스킴이라는 두 가지 수치적 스킴을 도입하며, HJBQVI 이산화에서 단조성과 안정성을 유지하도록 설계된다.
• 비국소 2차 PDE에 대해 바르레-수가니디스 수렴 정리를 확장하기 위해 비국소 일치성 및 안정성 조건을 도입한다.
• 표준 스텐실을 사용한 균일 격자 위의 유한차분 방법을 적용하며, 이mpulse 제어를 모델링하기 위해 간섭 연산자를 통합한다.
• 스킴 성질의 철저한 분석을 통해 유한시간 및 무한시간(정상상태) 케이스 모두에서 수렴을 확립한다.
• 이론을 이산 상태 공간 상의 마코프 결정과정에 적용하며, w.c.d.d. 행렬과 M-행렬 간의 연관성을 규명하고 해의 유일성과 관련 지운다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HJBQVI 이산화에서 유도된 비선형 행렬 방정식에 대해 정책 반복이 엄밀하게 수렴함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 바르레와 수가니디스의 수렴 이론을 비국소 PDE, 예를 들어 HJBQVI와 같은 비국소 PDE에까지 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 비국소 HJBQVI에 대한 수치적 스킴의 단조성, 안정성, 일치성을 보장하기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ4 w.c.d.d. 행렬과 M-행렬은 이산 상태 공간 상의 이mpulse 제어 문제에서 발생하는 벨만 문제의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 제안된 수치적 스킴의 수렴 속도는 얼마이며, 벤치마크 금융 문제에서의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• HJBQVI 이산화에서 유도된 벨만 문제에 대해 정책 반복이 전역적으로 수렴함을 약하게 연결된 대각우세(w.c.d.d.) 행렬 이론을 통해 증명하였다.
• 비국소 PDE에 대한 새로운 수렴 프레임워크를 제안하며, 바르레-수가니디스 이론을 확장하여 단조성, 안정성, 비국소 일치성을 갖춘 스킴이 점성해로 수렴함을 증명하였다.
• 직접 제어 스킴과 페널티 스킴이 모두 단조성, 안정성, 비국소 일치성을 갖추고 있음을 입증하여, HJBQVI의 점성해로의 수렴을 보장하였다.
• 수치 실험에서 수렴 속도가 초선형임을 관찰하였으며, 페널티 스킴은 다양한 시험 케이스에서 뛰어난 안정성을 보였다.
• 최적의 환율 제어, 고정 및 비율 거래비용이 있는 소비, 변동 연금의 보장 최소 인출 수혜에 대한 해를 성공적으로 계산하였다.
• w.c.d.d. 행렬과 M-행렬 간의 새로운 관계를 규명하였으며, 이는 이mpulse 제어를 모델링하는 마코프 결정과정의 해의 유일성과 해법 가능성에 영향을 미친다.