[논문 리뷰] In-place fast polynomial modular remainder

Jean‐Guillaume Dumas, Bruno Grenet|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 27.

Polynomial and algebraic computation인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 입력을 일시적으로 수정한 후 복원할 수 있는, 기존의 in-place 모델을 새롭게 완화한 새로운 접근법을 사용하여, 다항식 모듈로 나눗셈 및 관련 연산에 대한 처음으로 빠르고 in-place인 알고리즘을 제시한다. 토플리츠 행렬 표현과 재귀적 감소 기법을 활용함으로써, 나머지 계산에 대해 O(m/n M(n) log n)의 연산을 달성한다. 이는 M(n) = Θ(n^{1+ϵ})일 때 표준 복잡도와 일치하며, 다항식 확장에서 in-place 모듈로 곱셈과 누적 연산에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the simultaneously fast and in-place computation of the Euclidean polynomial modular remainder $R(X) $ ot\equiv$ A(X) \mod B(X)$ with $A$ and $B$ of respective degrees $n$ and $m $\le$ n$. But fast algorithms for this usually come at the expense of (potentially large) extra temporary space. To remain in-place a further issue is to avoid the storage of the whole quotient $Q(X)$ such that $A=BQ+R$. If the multiplication of two polynomials of degree $k$ can be performed with $M(k)$ operations and $O(k)$ extra space, and if it is allowed to use the input space of $A$ or $B$ for intermediate computations, but putting $A$ and $B$ back to their initial states after the completion of the remainder computation, we here propose an in-place algorithm (that is with its extra required space reduced to $O(1)$ only) using at most $O(n/m M(m)\log(m)$ arithmetic operations, if $\M(m)$ is quasi-linear, or $O(n/m M(m)}$ otherwise. We also propose variants that compute -- still in-place and with the same kind of complexity bounds -- the over-place remainder $A(X) $ ot\equiv$ A(X) \mod B(X)$, the accumulated remainder $R(X) += A(X) \mod B(X)$ and the accumulated modular multiplication $R(X) += A(X)C(X) \mod B(X)$. To achieve this, we develop techniques for Toeplitz matrix operations which output is also part of the input. Fast and in-place accumulating versions are obtained for the latter, and thus for convolutions, and then used for polynomial remaindering. This is realized via further reductions to accumulated polynomial multiplication, for which fast in-place algorithms have recently been developed.

연구 동기 및 목표

• 출력 변수가 입력으로 재사용되는 다항식 및 행렬 연산을 위한 빠르고 in-place인 알고리즘을 설계하여, 빠른 알고리즘에서 발생하는 공간 복잡도의 상호 교환 문제를 해결한다.
• 기존에 몫 저장을 위해 O(n)의 추가 공간이 필요한 유일한 다항식 나머지 R(X) ≡ A(X) mod B(X)의 in-place 계산을 가능하게 한다.
• 입력의 일시적 수정과 이후 복원을 允허하는 in-place 모델을 확장하여, 새로운 종류의 빠르고 공간 효율적인 알고리즘을 가능하게 한다.
• 빠른 다항식 곱셈, 컨볼루션, 모듈로 산술의 in-place 변형을 제공하며, 누적 및 over-place 연산을 포함한다.
• M(n) = Θ(n^{1+ϵ})일 때, 비-in-place 알고리즘과 동일한 복잡도 한계를 달성한다. 여기서 ϵ > 0이다.

제안 방법

• 입력을 일시적으로 수정할 수 있도록 in-place 모델을 완화하되, 계산 후 원래 상태로 복원하도록 보장한다.
• 다항식 연산을 토플리츠 또는 순환 행렬-벡터 곱으로 표현하여, 재귀적 분해를 통해 효율적인 in-place 계산을 가능하게 한다.
• 재귀적 블록 분할과 일반화된 컨볼루션을 사용하여 다항식 곱셈과 나머지 계산을 더 작은 하위 문제에 대한 in-place 연산으로 감소시킨다.
• '취소' 기법을 적용: 중간 계산을 in-place로 수행하고 원상 복원하여 원본 입력을 유지함으로써 정확성을 확보한다.
• 재귀적 분할과 몫 오버라이팅을 사용하여 모듈로 나머지 계산을 짧은 곱셈과 멱급수 나눗셈으로 감소시킨다.
• 빠른 행렬 알고리즘(예: 스트라센 유사 알고리즘)과 in-place 선형 대수 루틴(예: TRMM, TRSM)을 다항식 연산의 기본 요소로 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빠른 다항식 모듈로 나머지를 O(1)의 추가 공간만을 사용하여 in-place로 계산할 수 있는가? 이는 전체 몫을 저장할 필요가 없도록 한다.
• RQ2 비-in-place 변형과 동일한 복잡도를 가지는 in-place 다항식 곱셈 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 입력 복원 기능을 갖춘 완화된 in-place 모델을 통해 빠른 알고리즘에서 속도와 공간 간의 전통적 상호 교환 관계를 깰 수 있는가?
• RQ4 다항식 나눗셈에서 몫이 아닌 나머지만 계산할 경우, in-place로 수행할 때 복잡도의 최소 과부하가 얼마인가?
• RQ5 추가 공간 없이도 누적 결과를 처리할 수 있는 in-place 알고리즘을 확장할 수 있는가? 예를 들어 R += A·C mod B와 같은 연산을 포함한다.

주요 결과

• 제안된 in-place 나머지 알고리즘은 O(m/n M(n) log n)의 산술 연산을 수행하며, 비-in-place 복잡도 대비 로그 인자만큼의 과부하를 가진다.
• M(n) = Θ(n^{1+ϵ})일 때, ϵ > 0이면 in-place 알고리즘이 비-in-place 복잡도 한계 O(m/n M(n))과 정확히 일치한다.
• 카라츠바 곱셈의 in-place 변형을 구현하였으며, 최신 NTL 라이브러리와 거의 동일한 성능을 보였다.
• 저자들은 몫을 저장할 필요 없이 다항식 나눗셈의 나머지만 계산하는 데 있어 첫 번째 in-place 알고리즘을 제공하였다.
• 이 기법을 통해 모듈로 곱셈의 in-place 누적 연산, 예를 들어 R += A·C mod B도 동일한 복잡도 한계로 수행할 수 있다.
• 토플리츠 및 순환 행렬 연산의 over-place 변형이 유도되었으며, 이는 in-place에서 효율적인 선형 시스템 해법과 행렬-벡터 곱셈을 가능하게 한다.