[논문 리뷰] Inclusion graph of subgroups of a group

P. Devi, R. Rajkumar|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 27.

Finite Group Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한군의 부분군들의 포함 그래프를 소개한다. 여기서 정점은 진부분군이며, 한 부분군이 다른 부분군에 포함될 때 간선이 연결된다. 이는 포함 그래프가 완전, 이분, 트리, 별, 경로, 사이클, 클로이프-free 또는 비연결인 유한군들을 분류하며, 유한 아벨 군의 평면성 조건을 제공한다. 주요 결과로는 비가소군의 포함 그래프는 항상 클로우($K_{1,3}$)를 포함하고, 둘레가 3임을 보여준다.

ABSTRACT

For a finite group $G$, we define the inclusion graph of subgroups of $G$, denoted by $\mathcal I(G)$, is a graph having all the proper subgroups of $G$ as its vertices and two distinct vertices $H$ and $K$ in $\mathcal I(G)$ are adjacent if and only if either $H \subset K$ or $K \subset H$. In this paper, we classify the finite groups whose inclusion graph of subgroups is one of complete, bipartite, tree, star, path, cycle, disconnected, claw-free. Also we classify the finite abelian groups whose inclusion graph of subgroups is planar. For any given finite group, we estimate the clique number, chromatic number, girth of its inclusion graph of subgroups and for a finite abelian group, we estimate the diameter of its inclusion graph of subgroups. Among the other results, we show that some groups can be determined by their inclusion graph of subgroups

연구 동기 및 목표

• 유한군의 부분군들 사이의 포함 관계를 표현하는 포함 그래프를 정의하고 분석한다.
• 포함 그래프가 완전, 이분, 트리, 별, 경로, 사이클, 비연결 또는 클로이프-free인 유한군들을 분류한다.
• 유한 아벨 군 중 포함 그래프가 평면인 군들을 특정한다.
• 클리크 수, 색수, 둘레, 지름과 같은 그래프 불변량을 포함 그래프에 대해 추정한다.
• 군이 포함 그래프에 의해 유일하게 결정될 수 있는지 조사한다.

제안 방법

• 유한군 $G$의 모든 진부분군을 정점으로 하고, $H \subset K$ 또는 $K \subset H$일 때 정점 $H$와 $K$ 사이에 간선을 연결하는 포함 그래프 $\mathcal{I}(G)$를 정의한다.
• 시로의 정리, 부분군 격자 구조, 유한 단순군 및 최소 단순군의 분류와 같은 군론적 도구를 사용한다.
• 클리크 수 $\omega(G)$, 색수 $\chi(G)$, 둘레 $girth(G)$, 지름 $diam(G)$, 평면성과 같은 그래프 이론적 개념을 사용하여 $\mathcal{I}(G)$를 분석한다.
• 동형 불변성 활용: $G_1 \cong G_2$이면 $\mathcal{I}(G_1) \cong \mathcal{I}(G_2)$이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
• 부분군 사슬과 포함 격자를 이용하여 $K_{1,3}$(클로우) 및 $K_2 + \overline{K_3}$와 같은 부분그래프를 식별하고, 둘레 및 구조적 성질을 유추한다.
• 최소 단순군의 톰슨 분류를 활용하여 비가소군에서의 결과를 하위-몫군 유전성에 의해 일반 비가소군으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유한군의 포함 그래프가 완전, 이분, 트리, 별, 경로, 사이클 또는 비연결일까?
• RQ2 어떤 유한 아벨 군의 포함 그래프가 평면일까?
• RQ3 일반적인 유한군 $G$에 대해 $\mathcal{I}(G)$의 클리크 수, 색수, 둘레는 각각 얼마일까?
• RQ4 유한 아벨 군의 포함 그래프의 지름은 얼마일까?
• RQ5 유한군이 포함 그래프에 의해 유일하게 결정될 수 있을까?

주요 결과

• 포함 그래프 $\mathcal{I}(G)$가 완전이 되는 것은 $G$가 소수 거듭제곱 $p^n$의 순환군이며 $n \leq 2$일 때에 한하여 성립한다.
• 포함 그래프가 이분이 되는 것은 $G$가 최대 클래스의 $p$-군 또는 홀수 소수 $p$에 대해 순서 $2p$인 이면체군일 때에 한하여 성립한다.
• 포함 그래프가 트리가 되는 것은 $G$가 소수 거듭제곱 $p^n$의 순환군이며 $n \leq 2$일 때에 한하여 성립한다.
• 포함 그래프가 별이 되는 것은 $G$가 어떤 소수 $p$에 대해 순서 $p^2$의 순환군일 때에 한하여 성립한다.
• 포함 그래프가 경로가 되는 것은 $G$가 어떤 소수 $p$에 대해 순서 $p^3$의 순환군일 때에 한하여 성립한다.
• 모든 비가소 유한군의 포함 그래프는 클로우($K_{1,3}$)를 포함하며, 둘레가 3임을 최소 단순군과 부분군 포함 사슬을 통해 보여준다.