[논문 리뷰] Inclusion of spectrahedra, dilations, the matrix cube problem and coin tossing

J. William Helton, Igor Klep외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 03.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 날카로운 확장 결과를 확립한다: 유계 자유 스펙트라헤드론 내에 있는 d×d 대칭 행렬의 임의의 튜플은 스케일 인자 𝜗(d)를 제외하고는 해당 스펙트라헤드론에 속하는 연립 스펙트럼을 갖는 가환 자기수반 연산자로 확장된다. 𝜗(d)에 대한 해석적 공식은 이항분포와 베타분포에 대한 새로운 확률론적 통찰을 제공하며, 선형 행렬부등식의 자유 이완에서의 최악의 오차를 정량화한다.

ABSTRACT

An operator C on a Hilbert space H dilates to an operator T on a Hilbert space K if there is an isometry V from H to K such that C=V^*TV. A main result of this paper is, for a positive integer d, the simultaneous dilation, up to a sharp factor $\vartheta(d)$, of all d-by-d symmetric matrices of operator norm at most one to a collection of commuting self-adjoint contraction operators on a Hilbert space. An analytic formula for $\vartheta(d)$ is derived, which as a by-product gives new probabilistic results for the binomial and beta distributions. Dilating to commuting operators has consequences for the theory of linear matrix inequalities (LMIs). Given a tuple A=(A_1,...,A_g) of symmetric matrices of the same size, L(x):=I-\sum A_j x_j is a monic linear pencil. The solution set S_L of the corresponding linear matrix inequality, consisting of those x in R^g for which L(x) is positive semidefinite (PsD), is a spectrahedron. The set D_L of tuples X=(X_1,...,X_g) of symmetric matrices (of the same size) for which L(X):=I-\sum A_j \otimes X_j is PsD, is a free spectrahedron. A result here is: any tuple X of d-by-d symmetric matrices in a bounded free spectrahedron D_L dilates, up to a scale factor, to a tuple T of commuting self-adjoint operators with joint spectrum in the corresponding spectrahedron S_L. From another viewpoint, the scale factor measures the extent that a positive map can fail to be completely positive. Given another monic linear pencil M, the inclusion D_L \subset D_M obviously implies the inclusion S_L \subset S_M and thus can be thought of as its free relaxation. Determining if one free spectrahedron contains another can be done by solving an explicit LMI and is thus computationally tractable. The scale factor for commutative dilation of D_L gives a precise measure of the worst case error inherent in the free relaxation, over all monic linear pencils M of size d.

연구 동기 및 목표

• 유계 자유 스펙트라헤드론 내에 있는 d×d 대칭 행렬에 대한 균일한 확장 결과를 확립하기.
• 연산자 이론과 특수함수를 연결하는 날카로운 확장 인자 𝜗(d)에 대한 명시적 해석적 공식을 유도하기.
• 선형 행렬부등식(LMIs)의 자유 이완에서의 최악의 오차를 스케일 인자 𝜗(d)를 통해 정량화하기.
• 유도된 공식을 통해 확장 문제를 이항분포와 베타분포의 확률적 성질과 연결하기.

제안 방법

• d×d 대칭 행렬을 더 큰 힐버트 공간 위의 가환 자기수반 연산자로 통합하기 위해 연산자 확장 이론을 사용하기.
• 스펙트럼 및 함수해석 기법을 사용하여 날카로운 확장 인자 𝜗(d)에 대한 해석적 표현을 유도하기.
• 확장 결과를 자유 스펙트라헤드론에 적용하여, D_L 내의 임의의 튜플이 𝜗(d)로 스케일된 S_L에 속하는 연립 스펙트럼을 갖는 가환 튜플로 확장됨을 보여주기.
• 완전 양의 매핑과 양의 매핑 간의 연결을 활용하여 스케일 인자를 완전 양의 성질의 실패 정도로 해석하기.
• monic 선형 펜슬 L(x) = I - ∑A_j x_j 와 그 자유 유사체 L(X) = I - ∑A_j ⊗ X_j 를 사용하여 스펙트라헤드론과 자유 스펙트라헤드론을 정의하기.
• LMI 타당성의 계산적 타당성을 활용하여 자유 스펙트라헤드론 D_L ⊂ D_M 의 포함관계를 스케일 인자 𝜗(d)와 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 노름 ≤1인 d×d 대칭 행렬을 동시에 가환 자기수반 연산자로 확장하기 위한 날카로운 확장 인자 𝜗(d)는 무엇인가?
• RQ2 유도된 𝜗(d) 공식이 이항분포와 베타분포에 대해 새로운 결과를 어떻게 도출하는가?
• RQ3 선형 행렬부등식의 자유 이완이 포함관계를 얼마나 잘 유지하지 못하는가? 이는 스케일 인자로 어떻게 캡처되는가?
• RQ4 자유 스펙트라헤드론의 포함관계 D_L ⊂ D_M 는 확장 인자와 연결된 계산적으로 타당한 조건으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 스케일 인자 𝜗(d)는 어떻게 스펙트라헤드론의 자유 이완을 통해 근사할 때의 최악의 오차를 측정하는가?

주요 결과

• 논문은 노름 ≤1인 모든 d×d 대칭 행렬을 가환 자기수반 연산자로 확장하기 위해 필요한 최소 스케일링을 정량화하는 명시적 해석적 공식을 유도한다.
• 𝜗(d)의 공식은 그 기능적 형태에서 기인하는 이항분포와 베타분포를 포함한 새로운 확률론적 항등식을 도출한다.
• 유계 자유 스펙트라헤드론 D_L 내에 있는 d×d 대칭 행렬의 임의의 튜플 X 는 𝜗(d)로 스케일된 S_L에 속하는 연립 스펙트럼을 갖는 가환 튜플 T 로 확장된다.
• 자유 스펙트라헤드론의 포함관계 D_L ⊂ D_M 는 S_L ⊂ S_M 를 함의하며, 스케일 인자 𝜗(d)는 크기 d인 모든 monic 선형 펜슬에 대해 이 자유 이완에서의 최악의 오차를 정확히 측정한다.
• D_L ⊂ D_M 인지 여부를 판단하는 문제는 계산적으로 타당하며, 명시적인 선형 행렬부등식을 풀기만 하면 된다.
• 스케일 인자 𝜗(d)는 양의 매핑이 완전 양의 성질을 얼마나 많이 실패할 수 있는지에 대한 정량적 측도를 제공하며, 연산자 이론과 볼록 기하학, 확률론을 연결한다.