[논문 리뷰] Inclusion relations and radius problems for a subclass of starlike functions

Prachi Gupta, Sumit Nagpal외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 25.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 카디오이드 사상 $\phi_{car}(z) = 1 + z + z^2/2$에 하위관계를 가지는 별성 함수의 클래스 $\mathcal{S}^{*}_{car}$를 조사하며, 다른 별성 하위클래스와의 정확한 포함관계를 확립하고, 다양한 클래스에 대한 정확한 반경 상수를 계산한다. 주요 기여는 다양한 함수 클래스에서 $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하는 데 있어서 최적의 반경을 도출한 것으로, 부분합과 콘볼루션 성질에 응용된다.

ABSTRACT

By considering the polynomial function $ϕ_{car}(z)=1+z+z^2/2,$ we define the class $\Scar$ consisting of normalized analytic functions $f$ such that $zf'/f$ is subordinate to $ϕ_{car}$ in the unit disk. The inclusion relations and various radii constants associated with the class $\Scar$ and its connection with several well-known subclasses of starlike functions is established. As an application, the obtained results are applied to derive the properties of the partial sums and convolution.

연구 동기 및 목표

• 다른 잘 알려진 별성 함수 하위클래스들과의 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 사이의 포함관계를 확립하기 위해.
• 다양한 함수 클래스에서의 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-소속에 대한 정확한 반경 상수를 계산하기 위해, 특히 $i=1,2,3$에 대해 $\mathcal{F}_i^\chi$를 포함하여.
• 하위관계 원리에 기반하여 $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하는 함수의 부분합과 콘볼루션의 성질을 분석하기 위해.
• $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하는 것으로 보장되는 $\rho$-확대를 갖는 두 별성 함수의 하다마르드 곱의 정확한 반경 $\rho$를 결정하기 위해.

제안 방법

• $\mathcal{S}^{*}_{car} = \mathcal{S}^{*}(\phi_{car})$로 정의하며, 단위 원판에서 $zf'(z)/f(z) \prec \phi_{car}(z)$를 만족하는 정규화된 해석 함수의 집합으로, 여기서 $\phi_{car}(z) = 1 + z + z^2/2$는 단위 원판을 카디오이드 영역으로 사상한다.
• 하위관계와 변형 기법을 사용하여 $|z| = r$에서 $\operatorname{Re}(\phi_{car}(z))$의 최대 및 최소값을 계산한다.
• 레마 2.2(하위관계를 통한 디스크 포함)를 적용하여, $zf'(z)/f(z)$의 이미지가 카디오이드 영역 $\Omega_{car}$ 내에 포함되도록 하는 반경 $r$을 결정한다.
• Ma와 Minda(1992)의 기존 결과를 활용하여 $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하는 함수의 계수 상한을 유도하며, $f_{car}(z) = z \exp(z + z^2/4)$에서 최선의 상한이 도달됨을 보여준다.
• $\mathcal{S}^{*}_{car}$가 볼록 함수와의 콘볼루션에 대해 닫혀져 있는 조건을 함수 불등식을 통해 확립한다.
• $q \prec \phi_{car}$를 만족하는 $f(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{q(t)-1}{t} dt\right)$의 표현을 사용하여 $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하는 함수의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다른 별성 함수 하위클래스들과의 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 사이의 정확한 포함관계는 무엇인가?
• RQ2 카디오이드 영역 $\Omega_{car}$에 포함되는 $\{w: |w - a| < r\}$ 디스크의 최대 $r > 0$는 무엇인가, 여기서 $a \in (\phi_{car}(-1), \phi_{car}(1))$인가?
• RQ3 $\rho > 0$의 값은 무엇인가, 두 별성 함수의 하다마르드 곱의 $\rho$-확대가 항상 $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하는가?
• RQ4 $\chi(z) = z + z^2/2$일 때, 클래스 $\mathcal{F}_1^\chi$, $\mathcal{F}_2^\chi$, $\mathcal{F}_3^\chi$에 대한 정확한 반경은 무엇인가?
• RQ5 $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하는 함수의 부분합과 콘볼루션은 하위관계 및 기하학적 성질 측면에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• $\mathcal{F}_3^{z/(1-z)^2}$에 대한 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-반경은 $\rho_0 = (4 - \sqrt{13})/3 \approx 0.13148$이며, 이는 $f_0(z) = z(1+z)/(1-z)^3$에서 정확하게 도달된다.
• $\chi(z) = z + z^2/2$일 때 $\mathcal{F}_1^\chi$에 대한 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-반경은 $s_1 \approx 0.13148$이며, 이는 $3r^3 + 6r^2 - 19r + 2 = 0$의 최소 양근이다.
• $\mathcal{F}_2^\chi$에 대한 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-반경은 $s_2 \approx 0.134138$이며, 이는 $5r^3 - 15r + 2 = 0$의 최소 양근이다.
• $\mathcal{F}_3^\chi$에 대한 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-반경은 $s_3 \approx 0.19028$이며, 이는 $3r^3 + 2r^2 - 11r + 2 = 0$의 최소 양근이다.
• $f, g \in \mathcal{S}^*$이면, 함수 $h_\rho(z) = (f * g)(\rho z)/\rho$는 모든 $\rho \leq (4 - \sqrt{13})/3 \approx 0.13148$에 대해 $\mathcal{S}^{*}_{car}$에 속하며, 이는 $f_0(z) = z(1+z)/(1-z)^3$에서 등호가 성립한다.
• $f_{car}(z) = z \exp(z + z^2/4)$는 정확한 계수 상한을 도달한다: $|a_2| \leq 1$, $|a_3| \leq 3/4$, $|a_4| \leq 5/12$, 그리고 $f_{car}(\mathbb{D})$는 디스크 $\{|w| < e^{-3/4} \approx 0.47236\}$를 포함한다.