[논문 리뷰] Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers

Takao Komatsu, Kálmán Liptai외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 20.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제한된 제2종 스투링 수와 관련된 제2종 스투링 수를 사용하여 불완전한 다중 베르누이 수를 도입하며, 고전적 다중 베르누이 수를 일반화한다. 새로운 생성함수를 유도하고, 라메르트 W 함수를 통해 리만 제타 함수의 새로운 무한 급수 표현을 수립한다. 이는 복소수 μ에 대해 Re(μ) > 1 이며, 분지 k = 0, -1 에서 유효하다.

ABSTRACT

By using the associated and restricted Stirling numbers of the second kind, we give some generalizations of the poly-Bernoulli numbers. We also study their arithmetical and combinatorial properties. As an application, at the end of the paper we present a new infinite series representation of the Riemann zeta function via the Lambert $W$.

연구 동기 및 목표

• 제한된 제2종 스투링 수를 포함하여 고전적 다중 베르누이 수를 일반화하기 위해 불완전한 제2종 스투링 수를 활용한다.
• 이 일반화된 수들의 해석적 및 조합적 성질을 개발한다.
• 라메르트 W 함수를 사용하여 리만 제타 함수의 새로운 무한 급수 표현을 수립한다.
• 부분 지수합 E_m(t)를 사용하여 다중 베르누이 수의 생성함수 프레임워크를 확장한다.
• 비양수 μ에 대해 불완전한 다중 베르누이 수의 약수 성질을 조사한다.

제안 방법

• 제한된 제2종 스투링 수와 관련된 제2종 스투링 수를 사용하여 불완전한 다중 베르누이 수 B_{n,≤m}^{(μ)} 및 B_{n,≥m}^{(μ)} 를 정의한다.
• 다중로그 함수 Li_μ와 부분 지수합 E_m(t) = ∑_{k=0}^m t^k / k! 를 포함한 생성함수를 유도한다.
• 반복 적분 표현을 사용하여 다중 베르누이 수의 생성함수를 일반화한다.
• t = -W_k(-1) 을 대입하여 생성함수와 라메르트 W 함수 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 절대값 제약 조건으로 인해 Re(μ) > 1 이며 k = 0, -1 인 경우에만 급수의 수렴성을 증명한다.
• 소수 모듈로에서 알려진 스투링 수의 합동식을 활용하여 μ ≤ 0 인 경우의 약수 성질을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 제2종 스투링 수와 관련된 제2종 스투링 수를 사용하여 다중 베르누이 수를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이 일반화된 불완전한 다중 베르누이 수의 해석적 및 조합적 성질은 무엇인가?
• RQ3 라메르트 W 함수를 사용하여 리만 제타 함수의 새로운 무한 급수 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 μ > 1 인 경우 생성함수 E_m(t) 의 수렴 도메인은 무엇인가?
• RQ5 라메르트 W 함수의 어떤 분지가 유도된 급수에서 ζ(μ) 의 유효한 표현을 제공하는가?

주요 결과

• B_{n,≤m}^{(μ)} 의 생성함수는 ∑_{n=0}^∞ B_{n,≤m}^{(μ)} t^n / n! = Li_μ(1 - E_m(-t)) / (1 - E_m(-t)) 이다.
• B_{n,≥m}^{(μ)} 의 생성함수는 ∑_{n=0}^∞ B_{n,≥m}^{(μ)} t^n / n! = Li_μ(E_{m-1}(-t) - e^{-t}) / (E_{m-1}(-t) - e^{-t}) 이다.
• μ = 1 인 경우, 생성함수는 제한된 및 관련 베르누이 수에 대한 기존 표현식으로 간소화된다.
• 리만 제타 함수는 μ 에 대해 Re(μ) > 1 이고 k = 0, -1 인 경우 ζ(μ) = ∑_{n=0}^∞ B_{n,≥2}^{(μ)} (W_k(-1))^n / n! 의 급수 표현을 갖는다.
• W_0(-1) 과 W_{-1}(-1) 의 복소수 켤레 대칭성 덕분에 복소수 항을 포함하더라도 급수는 실수 값 ζ(μ) 로 수렴한다.
• μ ≤ 0 인 경우, 임의의 소수 p 에 대해 B_{p,≤m}^{(μ)} ≡ 0 mod p 이며, B_{p,≥m}^{(μ)} ≡ 2^{|μ|} mod p 이다.