[논문 리뷰] Incompressibility and spectral gaps of random circuits

Chi-Fang Chen, Jeongwan Haah외 4명|arXiv (Cornell University)|2024. 06. 11.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤으로 생성된 가역 및 양자 회로에 대해 날카러운 스펙트럼 갭 한계를 확립하여, 혼합 속도가 깊이에 관계없이 지수 시간 동안 독립적임을 증명한다. O(n⁴t) 게이트를 가진 랜덤 양자 회로가 t ≤ Θ(2ⁿ/²)일 때 스펙트럼 갭이 다중 오차 t-디자인을 형성하며, 지수적으로 긴 시간 동안 회로 복잡도가 선형적으로 증가함을 보여주며, 이는 강력한 브라운–수스킨드 추측을 해결하고 랜덤 회로의 압축 불가능성을 입증한다.

ABSTRACT

Random reversible and quantum circuits form random walks on the alternating group $\mathrm{Alt}(2^n)$ and unitary group $\mathrm{SU}(2^n)$, respectively. Known bounds on the spectral gap for the $t$-th moment of these random walks have inverse-polynomial dependence in both $n$ and $t$. We prove that the gap for random reversible circuits is $Ω(n^{-3})$ for all $t\geq 1$, and the gap for random quantum circuits is $Ω(n^{-3})$ for $t \leq Θ(2^{n/2})$. These gaps are independent of $t$ in the respective regimes. We can further improve both gaps to $n^{-1}/\mathrm{polylog}(n, t)$ for $t\leq 2^{Θ(n)}$, which is tight up to polylog factors. Our spectral gap results have a number of consequences: 1) Random reversible circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error $t$-wise independent (even) permutations for all $t\geq 1$; for $t \leq Θ(2^{n/6.1})$, we show that $ ilde{\mathcal{O}}(n^2 t)$ gates suffice. 2) Random quantum circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error unitary $t$-designs for $t \leq Θ(2^{n/2})$; for $t\leq Θ(2^{2n/5})$, we show that $ ilde{\mathcal{O}}(n^2t)$ gates suffice. 3) The robust quantum circuit complexity of random circuits grows linearly for an exponentially long time, proving the robust Brown--Susskind conjecture [BS18,BCHJ+21]. Our spectral gap bounds are proven by reducing random quantum circuits to a more structured walk: a modification of the ``$\mathrm{PFC}$ ensemble'' from [MPSY24] together with an expander on the alternating group due to Kassabov [Kas07a], for which we give an efficient implementation using reversible circuits. In our reduction, we approximate the structured walk with local random circuits without losing the gap, which uses tools from the study of frustration-free Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• n 큐비트 또는 비트에 대해 랜덤 가역 및 양자 회로에 대해 t에 의존하지 않는 날카러운 스펙트럼 갭 한계를 확립한다.
• 랜덤 회로가 다중 오차를 가진 근사 t-디자인을 형성함을 증명하여, 균일 분포로의 수렴 정도를 정량화한다.
• 랜덤 회로의 양자 회로 복잡도가 지수적으로 긴 시간 동안 선형적으로 증가함을 보여, 강력한 브라운–수스킨드 추측을 해결한다.
• 랜덤 회로가 압축 불가능함을 보여주며, 이는 복잡도가 게이트 수에 따라 선형적으로 증가함을 의미한다.

제안 방법

• 수정된 PFC 집합과 알터네이팅 군에서의 카사보프의 확산기를 사용하여 랜덤 양자 회로를 구조화된 보행으로 환원한다.
• 불만족형 하미르톤의 도구를 사용하여 구조화된 보행을 국소적 랜덤 회로로 근사하면서 스펙트럼 갭을 유지한다.
• 카즈반 상수와 모멘트 연산자 분석을 활용하여 본질적 노름을 bound하고 스펙트럼 갭을 유도한다.
• 카사보프의 생성자와 유한 생성 기법을 사용하여 알터네이팅 군 Alt(2ⁿ)를 생성하는 효율적인 가역 회로를 구성한다.
• 다항식 보간과 오버랩 정리를 적용하여 고정밀 상태 준비의 확률을 bound한다.
• 넷 추론과 트레이스 노름 추정을 사용하여 근사 t-디자인 성질로부터 회로 복잡도 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 가역 회로의 스펙트럼 갭은 무엇이며, 모든 t ≥ 1에 대해 깊이에 관계없이 유한하게 유지되는가?
• RQ2 랜덤 양자 회로가 n에 대해 지수적인 t까지 다중 오차 유니터리 t-디자인을 형성할 수 있는가? 이를 위해 필요한 게이트 수는 얼마인가?
• RQ3 랜덤 회로의 강력한 양자 회로 복잡도가 지수적으로 긴 시간 동안 게이트 수에 따라 선형적으로 증가하는가? 이는 강력한 브라운–수스킨드 추측을 확인하는가?
• RQ4 랜덤 회로의 스펙트럼 갭이 t에 관계없이 bound될 수 있는가? 이는 t-디자인 형성 능력과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 O(n⁴t) 게이트를 가진 랜덤 양자 회로가 t ≤ Θ(2ⁿ/²)일 때 다중 오차 t-디자인을 형성하는 데에 충분한가? 이는 ˜O(n²t)로 개선될 수 있는가?

주요 결과

• 랜덤 가역 회로의 스펙트럼 갭은 모든 t ≥ 1에 대해 Ω(n⁻³)이며, t에 관계없이 일정하다.
• 랜덤 양자 회로의 스펙트럼 갭은 t ≤ Θ(2ⁿ/²)일 때도 Ω(n⁻³)이며, t에 관계없이 일정하다.
• O(n⁴t) 게이트를 가진 랜덤 가역 회로는 모든 t ≥ 1에 대해 다중 오차 t-의존성 순열을 형성한다; t ≤ Θ(2ⁿ/⁶.¹)일 경우 ˜O(n²t) 게이트로도 충분하다.
• O(n⁴t) 게이트를 가진 랜덤 양자 회로는 t ≤ Θ(2ⁿ/²)일 때 다중 오차 유니터리 t-디자인을 형성한다; t ≤ Θ(2²ⁿ/⁵)일 경우 ˜O(n²t) 게이트로도 충분하다.
• 랜덤 양자 회로의 강력한 양자 회로 복잡도는 게이트 수 L에 따라 선형적으로 증가하며, L ≤ O(2ⁿ/²)일 때 CQ,𝛿(U|0ⁿ⟩) ≥ Ω(L/n⁴)이 고확률로 성립한다.
• 강력한 브라운–수스킨드 추측이 해결됨: 랜덤 양자 회로는 압축 불가능하며, 지수적으로 긴 시간 동안 복잡도가 선형적으로 증가한다.