[논문 리뷰] Incorporating fat tails in financial models using entropic divergence measures

Santanu S. Dey, Sandeep Juneja|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 03.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 26인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 재무 모델링에서 I-다중성의 실패 문제를 해결하기 위해 다항식 발산(Polynomial-divergence, 타슬리스 또는 레니 이 엔트로피와 동치)을 사용하는 것을 제안한다. 이는 극단적인 꼬리 분포를 가진 자산 수익률에서도 존재성과 유일성을 보장함으로써 강건한 校정과 포트폴리오 최적화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the existing financial literature, entropy based ideas have been proposed in portfolio optimization, in model calibration for options pricing as well as in ascertaining a pricing measure in incomplete markets. The abstracted problem corresponds to finding a probability measure that minimizes the relative entropy (also called $I$-divergence) with respect to a known measure while it satisfies certain moment constraints on functions of underlying assets. In this paper, we show that under $I$-divergence, the optimal solution may not exist when the underlying assets have fat tailed distributions, ubiquitous in financial practice. We note that this drawback may be corrected if `polynomial-divergence' is used. This divergence can be seen to be equivalent to the well known (relative) Tsallis or (relative) Renyi entropy. We discuss existence and uniqueness issues related to this new optimization problem as well as the nature of the optimal solution under different objectives. We also identify the optimal solution structure under $I$-divergence as well as polynomial-divergence when the associated constraints include those on marginal distribution of functions of underlying assets. These results are applied to a simple problem of model calibration to options prices as well as to portfolio modeling in Markowitz framework, where we note that a reasonable view that a particular portfolio of assets has heavy tailed losses may lead to fatter and more reasonable tail distributions of all assets.

연구 동기 및 목표

• 비정상적인 꼬리 분포에서 I-다중성이 실패하는 문제를 해결하기 위해, 특히 모멘트 생성 함수가 영점 주변에서 존재하지 않을 경우 최적 해가 존재하지 않을 수 있음을 고려한다.
• 비정상적인 꼬리 분포 하에서도 해의 존재성과 유일성을 유지하는 I-다중성의 강건한 대체 방법을 개발한다.
• 모멘트 제약 조건과 기초 자산의 함수에 대한 마진 분포 지정 조건을 포함한 일반적인 제약 조건을 다룰 수 있도록 엔트로피 기반 방법을 확장한다.
• 전문가의 견해—예를 들어 포트폴리오가 비정상적인 꼬리 손실을 가진다는 것—을 재무 모델에 통합할 수 있는 프레임워크를 제공한다.
• 옵션 가격의 校정과 현실적인 꼬리 행동을 반영한 마크owitz 포트폴리오 최적화와 같은 실용적 문제에 제안된 방법을 적용한다.

제안 방법

• I-다중성을 다항식 발산으로 대체한다. 다항식 발산은 $ D_p(f||g) = \frac{1}{p-1} \left( \int f(x)^p g(x)^{1-p} dx - 1 \right) $ 로 정의되며, 상대적 타슬리스 또는 레니 엔트로피에 해당한다.
• 최적화 문제를 사전 측도 $ g $ 에서의 다항식 발산을 최소화하는 것으로 설정하며, 이는 모멘트 제약 조건과 마진 분포 제약 조건을 포함한다.
• 라그랑주 이중성을 사용하여 최적의 밀도의 해석적 형태를 유도하며, 다항식 발산 하에서 이는 지수족 형태를 취함을 보여준다.
• 사전 밀도 $ g $ 의 적분 가능성과 꼬리 행동에 대한 기술적 조건 하에서 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 두 가지 주요 재무 문제에 방법을 적용한다: 옵션 가격에 기반한 위험 중립 측도 校정과 전문가 견해 하에서 포트폴리오 분포 갱신.
• 측도 변화와 변환 기법을 활용하여 조건부 밀도와 마진 분포에서의 꼬리 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재무 모델에서 비정상적인 꼬리 분포에 대해 I-다중성 최소화가 실패하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 다항식 발산이 비정상적인 꼬리 분포 하에서도 최적 측도의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 I-다중성의 대체로 사용될 수 있는가?
• RQ3 자산의 함수에 대한 마진 분포가 제약 조건으로 설정될 경우, 다항식 발산 하에서의 최적 해는 I-다중성 하의 해와 어떻게 다를까?
• RQ4 포트폴리오의 손실 분포가 비정상적인 꼬리 분포(예: t-분포)를 가진다는 전제가 개별 자산의 꼬리 행동에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 제안된 방법은 현실적인 비정상적인 꼬리 가정 하에서 옵션 가격의 校정과 마크owitz 포트폴리오 최적화에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 기초 자산이 비정상적인 꼬리 분포를 가질 경우, 특히 영점 주변에서 모멘트 생성 함수가 존재하지 않을 경우 I-다중성 최소화의 최적 해가 존재하지 않을 수 있다.
• 다항식 발산은 사전 분포가 비정상적인 꼬리일지라도 약한 기술적 조건 하에서도 최적 측도의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 다항식 발산 하에서 최적의 밀도는 $ \tilde{f}(y|x) \propto \exp\left( -\frac{1}{2}(y - \tilde{\mu}_{y|x})^T \Sigma_{y|x}^{-1} (y - \tilde{\mu}_{y|x}) \right) $ 의 형태를 가지며, 수정된 평균과 공분산의 구조를 갖는다.
• 포트폴리오가 비정상적인 꼬리 손실 분포(예: t-분포)를 가진다는 가정이 있을 경우, 개별 자산에 대한 후행 분포는 I-다중성 하의 경우보다 더 두꺼운 꼬리를 보인다.
• 다항식 발산 프레임워크 하에서 $ Y_1 $ 의 마진 분포 꼬리 행동은 $ \left( \frac{\sigma_{xy_1}}{\sigma_{xx}} \right)^{\alpha - 1} $ 로 감소하며, 여기서 $ \alpha $ 는 사전 밀도 $ g $ 의 꼬리 두께를 제어한다.
• 국소 수렴 정리(Dominated Convergence Theorem)를 사용하여, $ g $ 에 대한 적절한 꼬리 조건 하에서 무한대에서의 마진 밀도의 극한이 유한하고 0이 아님을 보여주며, 후행 분포에서 비정상적인 꼬리의 지속성을 확인한다.