[논문 리뷰] Incremental Sampling-based Algorithms for Optimal Motion Planning

Sertaç Karaman, Emilio Frazzoli|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 03.

Machine Learning and Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 빠르게 탐색하는 무작위 트리(RRT)에 리와이어링 메커니즘을 도입하여 渐近 최적성(asymptotic optimality)을 달성하는 증분 샘플링 기반 운동 계획 알고리즘인 RRT∗을 제안한다. 샘플 수가 증가함에 따라 최적 경로 비용으로 수렴한다. 표준 RRT와 달리, RRT∗는 하위 최적 해로 수렴하는 대신 트리 구조를 유지하면서 진정한 최적해로 수렴한다. 계산 복잡도는 RRT와 비슷한 상수 배수 내에서 渐近적으로 유지된다.

ABSTRACT

During the last decade, incremental sampling-based motion planning algorithms, such as the Rapidly-exploring Random Trees (RRTs) have been shown to work well in practice and to possess theoretical guarantees such as probabilistic completeness. However, no theoretical bounds on the quality of the solution obtained by these algorithms have been established so far. The first contribution of this paper is a negative result: it is proven that, under mild technical conditions, the cost of the best path in the RRT converges almost surely to a non-optimal value. Second, a new algorithm is considered, called the Rapidly-exploring Random Graph (RRG), and it is shown that the cost of the best path in the RRG converges to the optimum almost surely. Third, a tree version of RRG is introduced, called the RRT$^*$ algorithm, which preserves the asymptotic optimality of RRG while maintaining a tree structure like RRT. The analysis of the new algorithms hinges on novel connections between sampling-based motion planning algorithms and the theory of random geometric graphs. In terms of computational complexity, it is shown that the number of simple operations required by both the RRG and RRT$^*$ algorithms is asymptotically within a constant factor of that required by RRT.

연구 동기 및 목표

• RRT와 같은 증분 샘플링 기반 운동 계획자에서 해의 품질에 대한 이론적 한계가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 약한 조건 하에서 표준 RRT가 거의 확실히 최적해가 아닌 해로 수렴함을 증명하기 위해.
• 그래프 구조를 유지함으로써 渐近 최적성을 보장하는 새로운 알고리즘 RRG를 개발하기 위해.
• RRG의 최적성을 계승하면서도 실용적 사용을 위해 RRT 트리 구조를 유지하는 트리 기반 변종인 RRT∗를 설계하기 위해.
• RRT∗와 RRG의 계산 복잡도가 RRT와 비슷한 상수 배수 내에서 渐近적으로 유지됨을 입증하기 위해.

제안 방법

• 새로운 샘플을 근처 정점에 연결하고 경로 비용을 향상시키기 위해 간선을 리와이어링하는 방식으로 점진적으로 그래프를 구축하는 빠르게 탐색하는 무작위 그래프(RRG) 알고리즘을 제안한다.
• 새로운 정점이 트리 내의 가장 가까운 노드에 연결되고, 더 낮은 비용의 경로가 발견되면 기존 간선을 리와이어링하는 방식의 RRG의 트리 기반 버전인 RRT∗ 알고리즘을 도입한다.
• 무작위 기하 그래프 이론의 도구를 사용하여 RRG와 RRT∗의 수렴 성질을 분석하고, 거의 확실히 최적 경로 비용으로 수렴함을 입증한다.
• RRT∗에서 새로운 샘플을 부모 노드에 연결함으로써 후속 노드의 cost-to-go가 향상되는지 확인하는 확률적 리와이어링 메커니즘을 적용한다.
• 각 반복에서의 리와이어링 횟수의 기대값이 유한함을 증명함으로써, 리와이어링으로 인한 계산 오버헤드가 RRT와 비슷한 상수 배수 내에서 유지됨을 보장한다.
• 장애물 밀도와 차원이 다양한 환경에서 RRT, RRG, RRT∗를 비교한 광범위한 시뮬레이션을 통해 이론적 주장의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 RRT 알고리즘이 샘플 수가 증가함에 따라 최적 해로 수렴하는가?
• RQ2 트리 구조를 유지하면서도 渐近 최적성을 달성할 수 있는 샘플링 기반 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 渐近 최적의 샘플링 기반 계획자의 계산 복잡도는 RRT와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 무작위 기하 그래프의 이론적 성질을 활용하여 최적 경로 비용으로의 수렴을 증명할 수 있는가?
• RQ5 경로 품질과 런타임 측면에서 RRT∗는 RRT와 RRG에 비해 어떻게 성능이 나는가?

주요 결과

• 표준 RRT 알고리즘은 약한 기술적 조건 하에서 거의 확실히 최적해가 아닌 해로 수렴함을 입증함으로써, RRT의 근본적인 한계를 밝혀냈다.
• RRG 알고리즘은 渐近 최적성을 달성한다. 즉, 샘플 수가 증가함에 따라 그래프 내 최선 경로의 비용이 거의 확실히 최적 비용으로 수렴한다.
• RRT∗ 알고리즘은 RRG의 渐近 최적성을 계승하면서도 트리 구조를 유지함으로써 실시간 및 온라인 계획 응용에 적합하다.
• RRT∗의 계산 복잡도는 RRT와 비슷한 상수 배수 내에서 渐近적으로 유지되며, 리와이어링으로 인한 오버헤드가 유한하고 확장 가능함을 의미한다.
• 시뮬레이션 결과, RRT∗는 RRT보다 유의미하게 낮은 경로 비용을 달성한다. 예를 들어 한 사례에서 14.51 vs. 21.02이며, 런타임 비율은 유사하게 유지된다.
• RRT∗의 경우 trial 간 경로 비용의 분산이 시간이 지남에 따라 감소함을 통해 최적 해로의 안정적 수렴을 보였다.