[논문 리뷰] Indecomposable coverings with unit discs.

Dömötör Pálvölgyi|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 25.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 1980년 자노스 파치의 추측을 반증함으로써 평면상의 모든 열린 볼록집합이 커버 분해 가능하다는 것을 증명하지 못함을 보여준다. 특히 단위 원판이 커버 분해 가능하지 않음을 증명함으로써, 이는 부드러운 볼록집합, 즉 단위 원판을 포함한 경우에 대해 추측을 반박한다. 저자들은 단위 원판을 이용한 평면의 m중 커버링을 기하학적 구성으로 사용하여, 모든 m중 커버링이 두 개의 커버링으로 분해될 수 있는 유한한 m가 존재하지 않음을 보이며, 이는 부드러운 볼록집합에 대해 추측을 반박한다.

ABSTRACT

We disprove the 1980 conjecture of Janos Pach about the cover-decomposability of open convex sets by showing that the unit disc is not cover-decomposable. In fact, our proof easily generalizes to any set with a smooth boundary. We also show that (the suitable variant of) the conjecture holds for unbounded sets. Let C be a collection of sets in R2. We say that C is an m-fold covering if every point of R2 is contained in at least m members of C. A 1-fold covering is simply called a covering. De nition. A planar set C is said to be cover-decomposable if there exists a (minimal) constant m = m(C) such that every m-fold covering of the plane with translates of C can be decomposed into two coverings. The problem of characterizing all cover-decomposable sets in the plane was proposed by Pach [12] in 1980. He made the following conjecture. Conjecture (Pach). Every planar convex set C is cover-decomposable. The goal of this paper is to disprove this conjecture by showing it does not hold for the unit disc (and thus refuting an argument in the unpublished manuscript [10] of Mani-Levitska and Pach from 1986, which the authors were kind enough to share with us). Theorem 1. The unit disc is not cover-decomposable. It is quite surprising that the conjecture fails already for discs. This special case of the problem was also mentioned as an open problem in the November 2009 issue of the Communications of the ACM by Peter Winkler [18], and he guessed (like everybody else as well) that it should be possible to decompose every 4-fold covering of the plane with unit discs into two coverings. For the proof, see Section 1 and 2. As a consequence, we also obtain a construction for the respective claim in higher dimensions about unit balls, giving a simpler example than the one in [10]. Theorem 1 is also a strengthening of a theorem of [14], where a non-2-colorable hypergraph is realized by discs (of various size). Since unit discs can be approximated by (convex) polygons, we can also derive †Institute of Mathematics, Eotvos University, Budapest Research supported by Hungarian National Science Fund (OTKA), grant PD 104386, the EUROGIGA project 10-EuroGIGA-OP-003 (OTKA NN 102029) and the Janos Bolyai Research Scholarship of the Hungarian Academy of Sciences.

연구 동기 및 목표

• 모든 평면 볼록집합이 커버 분해 가능하다는 자노스 파치의 1980년 추측을 반박하는 것.
• 단위 원판은 부드럽고 볼록하나, 어떤 유한한 m에 대해서도 m중 커버링으로부터 두 개의 커버링으로 분해될 수 없다는 것을 보여주는 것.
• 결과를 평면상의 부드러운 경계를 가진 모든 집합으로 일반화하여, 이 클래스에서 커버 분해 가능성이 실패함을 보이는 것.
• 비유계 집합에 대해서는 추측이 성립함을 입증하여, 유계이고 부드러운 경우의 실패와 대비되는 사례를 제공하는 것.
• 2009년 피터 윙클러가 제기한 문제를 해결함: 단위 원판을 이용한 4중 커버링의 분해 가능성 여부

제안 방법

• 단위 원판의 평행이동을 이용한 평면의 m중 커버링을 구성하여, 이를 두 개의 커버링으로 분할할 수 없음을 보이는 것.
• 기하학적 및 위상수학적 추론을 사용하여, 단위 원판에 대해 커버 분해 가능 조건을 만족하는 유한한 m가 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 경계의 부드러움을 활용하여, 단위 원판 이외의 모든 부드러운 볼록집합으로 반례를 일반화하는 것.
• 다양한 크기의 원으로 표현된 비2색 가능 초그래프의 기법을 활용하여 구성에 영향을 주는 것.
• 볼록 다각형에 의한 근사 기법을 사용하여 결과를 이산 기하학과 초그래프 색칠 이론에 연결하는 것.
• 이전에 알려진 것보다 더 단순한 반례를 구성함으로써, 고차원으로 결과를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 원판은 커버 분해 가능할까? 즉, 어떤 유한한 m에 대해 단위 원판의 모든 m중 커버링이 두 개의 커버링으로 분해될 수 있을까?
• RQ2 모든 평면 볼록집합, 특히 부드러운 경계를 가진 집합에 대해 커버 분해 가능 추측이 성립하는가?
• RQ3 단위 원판에 대한 반례는 다른 부드러운 볼록집합으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 비유계 볼록집합에 대해서는 추측이 성립하는가? 만약 성립한다면 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ5 결과는 고차원 공간, 특히 단위 구에 대해 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 단위 원판은 커버 분해 가능하지 않으며, 이는 파치의 1980년 추측을 이 특정 케이스에서 반박함을 의미한다.
• 반례는 평면상의 부드러운 경계를 가진 모든 집합으로 일반화되어, 이러한 집합들이 커버 분해 가능하지 않음을 보여준다.
• 이전에 알려진 비공개 수학적 문서 [10]보다 더 단순한 반례를 고차원에서 제공한다.
• 조직된 구성은 심지어 4중 커버링이라도 두 개의 커버링으로 분해될 수 없다는 점을 보이며, 널리 퍼진 믿음과 모순된다.
• 부드러운 볼록집합에서의 커버 분해 불가능성은 비유계 집합에 대해 추측이 성립한다는 사실과 대비된다. 이 논문은 비유계 집합이 변형 조건을 만족함을 증명한다.
• 이 작업은 [14]의 결과를 강화하며, 다양한 크기의 원으로 표현된 비2색 가능 초그래프를 구성함으로써, 이제 단위 원판의 경우로 확장된 결과를 제공한다.