[논문 리뷰] Independent Sets in Vertex-Arrival Streams

Graham Cormode, Jacques Dark외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 22.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 정점 도착 그래프 스트림에서 최대 독립 집합(MIS)을 근사하는 데 필요한 공간 복잡도를 조사한다. 정점 스트림이 명시적으로 주어질 경우 c-근사에 대해 Ω(n²/c⁷)의 공간이 필요하며, 이는 MIS가 간선 도착 모델보다 훨씬 더 어렵다는 것을 보여준다. 논문은 포인터 점프와 밀접한 관련이 있는 새로운 다자간 통신 문제를 제안하여 강력한 하한을 증명하고, 단위 정사각형과 구간 등의 기하 교차 그래프에 대해 명시적 및 암시적 정점 스트림 모델 모두에서 개선된 상한 및 하한을 확립한다.

ABSTRACT

We consider the maximal and maximum independent set problems in three models of graph streams: - In the edge model we see a stream of edges which collectively define a graph; this model is well-studied for a variety of problems. We show that the space complexity for a one-pass streaming algorithm to find a maximal independent set is quadratic (i.e. we must store all edges). We further show that it is not much easier if we only require approximate maximality. This contrasts strongly with the other two vertex-based models, where one can greedily find an exact solution in only the space needed to store the independent set. - In the "explicit" vertex model, the input stream is a sequence of vertices making up the graph. Every vertex arrives along with its incident edges that connect to previously arrived vertices. Various graph problems require substantially less space to solve in this setting than in edge-arrival streams. We show that every one-pass c-approximation streaming algorithm for maximum independent set (MIS) on explicit vertex streams requires Omega({n^2}/{c^6}) bits of space, where n is the number of vertices of the input graph. It is already known that Theta~({n^2}/{c^2}) bits of space are necessary and sufficient in the edge arrival model (Halldórsson et al. 2012), thus the MIS problem is not significantly easier to solve under the explicit vertex arrival order assumption. Our result is proved via a reduction from a new multi-party communication problem closely related to pointer jumping. - In the "implicit" vertex model, the input stream consists of a sequence of objects, one per vertex. The algorithm is equipped with a function that maps pairs of objects to the presence or absence of edges, thus defining the graph. This model captures, for example, geometric intersection graphs such as unit disc graphs. Our final set of results consists of several improved upper and lower bounds for interval and square intersection graphs, in both explicit and implicit streams. In particular, we show a gap between the hardness of the explicit and implicit vertex models for interval graphs.

연구 동기 및 목표

• 정점 도착 그래프 스트림 모델에서 근사 최대 독립 집합(MIS)을 찾는 데 필요한 공간 복잡도를 이해하는 것, 특히 명시적 및 암시적 정점 스트림에서의 경우를 대상으로 한다.
• 정점 도착 모델에서의 MIS 난이도를 고전적인 간선 도착 모델과 비교하는 것. 여기서 정점 모델은 부분정복 공간을 갖는 탐욕 알고리즘을 허용한다.
• 기하 교차 그래프(예: 단위 정사각형, 구간)에 대해 알려진 상한과 하한 사이의 격차를 좁히는 것. 이는 정점 스트림 환경에서의 경우이다.
• MIS 근사에 대한 딱딱한 결과를 증명하기 위해 새로운 통신 복잡도 도구—특히 INDEX 문제의 다자간 일반화—를 개발하는 것.
• 기하적 구조(예: 단위 원, 구간)가 일반 그래프에 비해 MIS 근사에서 더 높은 공간 효율성을 가능하게 하는지 검토하는 것.

제안 방법

• 근사 최대성 확보를 위해 Ruzsa-Szemerédi 그래프 기반의 구성법을 사용하여 MIS 근사 문제를 새로운 다자간 통신 문제로 환원한다. 이 문제는 포인터 점프와 밀접한 관련이 있다.
• 1차원 및 2차원에서 구(또는 구간)를 사용한 기하 구조를 활용하여 여러 당사자 간에 비트 벡터를 인코딩한다. 여기서 독립 집합은 통신 문제의 해에 대응한다.
• 하나의 하드 인스턴스 그래프에서 에러 수정 코드를 사용하여 클리크 크기를 제한하고, 오직 특정 비트 조합만이 큰 독립 집합을 만들어내도록 보장한다.
• 2차원에서의 패킹 추론을 적용하여 MIS 크기를 사용해 인코딩된 정보를 복구할 수 있음을 보이며, 이는 통신 복잡도를 통해 하한을 도출하는 데 기여한다.
• 스트립 분해 및 무게 클래스 반올림 기법을 사용하여 기하 그래프(예: 단위 정사각형)에 대한 명시적 스트리밍 알고리즘을 설계하여 (3+ǫ)-근사에 대해 ˜O(α(G)/ǫ) 공간을 달성한다.
• 무게가 있는 MIS에 대해선 무게를 (1+ǫ)의 거듭제곱으로 반올림하고 각 스트립당 ˜O(ǫ⁻¹)개의 무게 클래스만 추적함으로써 (3+ǫ)-근사에 대해 ˜O(log W + α(G)/ǫ) 공간을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적 정점 스트림에서 c-근사로 MIS를 근사하는 데 필요한 공간 복잡도는 간선 도착 스트림과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ2 명시적 정점 스트림에서 MIS의 난이도는 통신 복잡도 프레임워크를 통해 증명될 수 있는가? 그리고 새로운 기본 원리가 필요한가?
• RQ3 명시적 및 암시적 정점 모델에서 단위 정사각형 또는 단위 구간 스트림에서 MIS를 근사하는 데 있어 가장 날카로운 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ4 교차 그래프의 기하적 구조(예: 단위 원, 구간)는 상수 요인 근사에서 α(G)보다 작은 공간 알고리즘 가능성을 제공하는가?
• RQ5 단위 정사각형 스트림에서 MIS의 근사 인자가 3을 초과하는 것으로 개선될 수 있는가? 더 나은 근사에 필요한 최소 공간은 얼마인가?

주요 결과

• 간선 도착 스트림에서 최대 독립 집합을 찾는 데는 Ω(n²)의 공간이 필요하며, 이는 근사 최대성 조건이더라도 마찬가지로 성립한다. 이는 간선 모델이 정점 모델보다 본질적으로 더 어렵다는 것을 보여준다.
• 명시적 정점 스트림에서 α(G)를 c-근사로 근사하기 위해서는 Ω(n²/c⁷)의 공간이 필요하며, 이는 정점 모델에서 정확한 MIS를 위한 ˜O(α(G)) 공간보다 훨씬 더 크다. 이는 명시적 정점 스트림에서 MIS가 크게 쉬운 편이 아님을 시사한다.
• 단위 정사각형의 암시적 정점 스트림에서는 (3+ǫ)-근사가 ˜O(α(G)/ǫ) 공간으로 달성 가능하지만, 5/2-근사 이하의 근사도는 Ω(n) 공간이 필요하다.
• 명시적 정점 스트림에서의 단위 구간 그래프에서는 5/3-근사 이하의 근사도를 달성하기 위해 Ω(n) 공간이 필요하며, 이는 암시적 스트림 변형보다 더 어렵다.
• 논문은 구 배열 기반의 3자간 통신 문제를 구성하여 MIS 크기가 공동 계산 결과를 인코딩함을 증명한다. 이는 5/2-근사 이하의 근사도를 갖는 알고리즘은 반드시 Ω(n) 공간을 사용해야 한다는 것을 의미한다.
• 임의 크기의 정사각형을 갖는 2차원 기하 그래프에 대해서는 상수 요인 근사가 존재하는지 여부가 열려 있으며, 단위 정사각형에 대해 상한과 하한 사이의 격차를 좁힐 수 있을지 여부도 미해결이다.