[논문 리뷰] Index, eta and rho-invariants on foliated bundles

Moulay-Tahar Benameur, Paolo Piazza|ArXiv.org|2008. 09. 12.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 40인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 바움-콘스 허가 조건 하에, 측도가 부여된 폴리에이션에 대한 서명 연산자의 폴리에이션 rho-불변량의 호모토피 불변성을 확립한다. 기존의 군의 갈로아 쌍대를 측도가 부여된 폴리에이션으로 일반화한다. 폴리에이션 rho-불변량을 도입하고, 그 안정성과 계량 불변성을 분석하며, 함수 해석학, 바르누아 추적, 및 파라메트릭스 기법을 사용하여, 콘네스-스카날리스 힐버트 모듈러스와 잎새로 나열된 딜라 연산자 맥락에서 호모토피 불변성을 증명한다.

ABSTRACT

We study primary and secondary invariants of leafwise Dirac operators on foliated bundles. Given such an operator, we begin by considering the associated regular self-adjoint operator $D_m$ on the maximal Connes-Skandalis Hilbert module and explain how the functional calculus of $D_m$ encodes both the leafwise calculus and the monodromy calculus in the corresponding von Neumann algebras. When the foliation is endowed with a holonomy invariant transverse measure, we explain the compatibility of various traces and determinants. We extend Atiyah's index theorem on Galois coverings to these foliations. We define a foliated rho-invariant and investigate its stability properties for the signature operator. Finally, we establish the foliated homotopy invariance of such a signature rho-invariant under a Baum-Connes assumption, thus extending to the foliated context results proved by Neumann, Mathai, Weinberger and Keswani on Galois coverings.

연구 동기 및 목표

• 측도가 부여된 폴리에이션 번들의 서명 연산자에 대한 폴리에이션 rho-불변량을 정의하고 연구한다.
• 잎새로 나열된 호모토피에 대해 폴리에이션 rho-불변량의 안정성과 계량 불변성을 확립한다.
• 홀로노미-불변 전이 측도를 가진 폴리에이션 번들로 아티야의 지수 정리를 일반화한다.
• 관련 군의자에 대한 바움-콘스 추측을 가정할 때, 폴리에이션 rho-불변량의 호모토피 불변성을 증명한다.
• 바르누아 대수와 추적을 사용하여 폴리에이션 공간 맥락에서 2차 지수 불변량(에타 및 로-불변량)을 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• 최대 콘네스-스카날리스 힐버트 모듈러스를 사용하여, 잎새와 단일화 계산을 바르누아 대수에 통합한 정규 자기수반 연산자 $\mathcal{D}_m$ 를 정의한다.
• 함수 해석학을 $\mathcal{D}_m$ 에 적용하여, 잎새로 나열된 딜라 연산자와 폴리에이션의 홀로노미 및 단일화 구조를 연결한다.
• 바르누아 추적 $\tau^\nu_\mathcal{F}$ 를 사용하여, 단위 연산자 경로 $\exp(i\pi\chi(\epsilon B_t))$ 의 추적을 통해 폴리에이션 에타-불변량을 정의한다.
• 특이 번호 추정치(Fack 및 Kosaki)를 사용하여, 경로 沿해 정규 및 평균화된 행렬식 간의 비교를 통해 로-불변량의 호모토피 불변성을 확립한다.
• 파라메트릭스 기반 접근법을 사용하여 인덱스를 국소화하고, 잔여항 $R_0^N$ 과 $R_1^N$ 을 통해 아티야-압틀 공식을 폴리에이션 맥락에 적응시킨다.
• 이산 군의자 $T \rtimes \Gamma$ 에 바움-콘스 사상 적용을 통해, 사상의 단사성과 전사성을 가정할 때 호모토피 불변성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀로노미-불변 전이 측도를 가진 폴리에이션 번들 맥락에서 로-불변량을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 폴리에이션 rho-불변량은 잎새 위의 리만 계량에 의존하는가?
• RQ3 폴리에이션 rho-불변량이 잎새로 나열된 호모토피에 대해 불변이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 갈로아 쌍대에서의 서명 로-불변량의 호모토피 불변성은 측도가 부여된 폴리에이션으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 바르누아 대수 맥락에서 딜라 연산자의 함수 해석학에 대해 추적 $\tau^\nu$ 와 $\tau^\nu_\mathcal{F}$ 는 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 폴리에이션 rho-불변량 $\rho^\nu(D^{\rm sign}; V, \mathcal{F})$ 는 폴리에이션 번들의 잎새 위의 리만 계량에 독립적이다.
• 폴리에이션 에타-불변량은 경로의 도함수의 추적을 통해 정의되며, $\tau^\nu_\mathcal{F}\left( \frac{d}{dt} \left[ -\exp(i\pi\chi(\epsilon B_t)) \right]_{N_\epsilon} \right)$ 로 표현되며, 바르누아 대수 맥락에서 잘 정의되어 있음을 보였다.
• 정규 행렬식과 평균화된 행렬식 간의 차이는 특이 번호 추정치에 의해 제어되며, $\epsilon \to 0$ 일 때 수렴하여 0이 된다.
• 바움-콘스 사상이 $T \rtimes \Gamma$ 에 대해 동형사상임을 가정할 때, 폴리에이션 rho-불변량의 호모토피 불변성이 확립된다.
• 증명은 행렬식 차이를 세 개의 항 $A_\epsilon$, $B_\epsilon$, $C_\epsilon$ 로 분할하는 데 의존하며, 전파 제어로 due to $B_\epsilon = 0$ 이고, $A_\epsilon, C_\epsilon \to 0$ 로 $\epsilon \to 0$ 일 때 수렴한다.
• 핵심 기술적 단계는 $\chi(\tilde{B}_s) - \chi(\epsilon \tilde{B}_s)$ 의 $L^1$-노름을 특이 번호 추정치로 줄이는 것으로, $p$-차원 잎새에 대해 점점 더 큰 행동 $\mu_s(\tilde{D}') \sim s^{2/p}$ 를 사용한다.