[논문 리뷰] Index of transversally elliptic operators

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|ArXiv.org|2008. 04. 08.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 컴act한 리 군 작용을 가진 컴팩트 다양체 위의 횡단 타입의 에르미트 연산자에 대해, 컴팩트 지지 계수를 가진 일반화된 초록 기호와 궤도의 정규법다양체 근처에 국소화하는 파라보릭 형태 ${\rm Par}(\omega)$를 사용하여 코homological 지수 공식을 수립한다. 주요 결과는 타원적이지 않은 횡단 타입의 에르미트 연산자로까지 아티야-보트-세갈-싱어 공식을 일반화하며, 등변형 양식을 사용하여 코 tangent bundle 위에서의 통합을 통해 군 위의 일반화된 함수로서 지수의 코homological 표현을 제공한다.

ABSTRACT

In 1996, Berline and Vergne gave a cohomological formula for the index of a transversally elliptic operator. In this paper we propose a new point of view where the cohomological formulae make use of equivariant Chern characters with generalized coefficients and with compact suppport. This kind of Chern characters was studied by the authors in a previous paper (see arXiv:0801.2822).

연구 동기 및 목표

• 타원적이지 않은 횡단 타입의 에르미트 연산자로 아티야-보트-세갈-싱어 등변형 지수 정리의 확장을 이루며, 지수가 부드러운 함수가 아니라 일반화된 함수가 되는 경우를 다루는 것.
• 기호가 타원적이지 않을 경우 등변형 양식의 통합 문제를 해결하기 위해, 파라보릭 형태 ${\rm Par}(\omega)$를 도입하여 컴팩트 지지 대표를 제공하는 것.
• 등변수 코homology와 일반화된 계수를 사용하여 타원적 및 횡단 타입의 에르미트 연산자를 하나의 코homological 프레임워크 안에서 통합적으로 다루는 것.
• 지지가 있는 초록 기호와 코homology에서 1을 표현하는 국소화 형태를 사용하여 지수의 기하학적 및 분석적 구성 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 기하학적 구조 $\mathbf{T}^{*}M$ 위에 정의된 파라보릭 형태 ${\rm Par}(\omega)(X) = \chi + d\chi \frac{\omega}{D\omega(X)}$ 를 도입하며, 이는 정규법다양체 $\mathbf{T}^{*}_{K}M$ 근처에 지지되어 있으며 등변수 코hom로지에서 상수 1을 표현한다.
• 횡단 타입의 에르미트 기호에 대해 컴팩트 지지 계수를 가진 일반화된 초록 기호 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma)(X)$ 를 정의하여 적분 가능성 보장.
• 퀴렌의 슈퍼접속 구축을 사용하여 등변수 초록 기호 $\operatorname{Ch}(\sigma)(X)$ 를 정의하고, 이를 ${\rm Par}(\omega)(X)$ 와 조합하여 컴팩트 지지, 닫힘, 등변수 형태를 갖는다.
• 비정규화된 지수 공식 적용: $\operatorname{index}(P)(e^X) = (2i\pi)^{-\dim M} \int_{\mathbf{T}^{*}M} \widehat{A}(M)^2(X) \operatorname{Ch}(\sigma)(X) {\rm Par}(\omega)(X)$, 이는 작은 $X \in \mathfrak{k}$ 에 대해 유효하다.
• 등변수 구조 $\mathbf{T}^{*}M \simeq E^{*} \oplus \mathbb{R}$ 를 이용하여 통합을 $E^{*}$ 와 $\mathbb{R}$ 에서의 섬유 통합으로 분해하여 명시적 계산 가능하게 한다.
• 섬유 통합이 $E^{*}$ 에서는 역 Todd 기호 ${\rm Todd}(E^{*})(X)^{-1}$ 을, $\mathbb{R}$ 에서는 $\mathcal{J}_{\alpha}(X)$ 를 유도함으로써 최종 지수 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원적이지 않은 횡단 타입의 에르미트 연산자로 아티야-보트-세갈-싱어 지수 공식을 어떻게 확장할 수 있는가? 이 경우 지수는 부드러운 함수가 아니라 일반화된 함수가 된다.
• RQ2 표준적인 컴팩트 지지 형태가 비타원성으로 인해 실패하는 상황에서, 횡단 타입의 에르미트 연산자의 지수에 적절한 코homological 대표는 무엇인가?
• RQ3 기하학적 구조에서 $\mathbf{T}^{*}_{K}M$ 근처에 컴팩트 지지되고 닫힘, 등변수이며 코homology에서 1을 표현하는 파라보릭 형태 ${\rm Par}(\omega)$ 를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 초록 기호 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma)$ 가 ${\rm Par}(\omega)$ 와 어떻게 상호작용하여 지수의 잘 정의된 통합을 유도하는가?
• RQ5 접촉 구조와 $K$-불변 접촉 형식을 가진 횡단 타입의 에르미트 기호에 대해 지수의 명시적 코homological 표현은 무엇인가?

주요 결과

• 횡단 타입의 에르미트 연산자 $P$ 의 지수는 $\operatorname{index}(P)(e^X) = (2i\pi)^{-\dim M} \int_{\mathbf{T}^{*}M} \widehat{A}(M)^2(X) \operatorname{Ch}(\sigma)(X) {\rm Par}(\omega)(X)$ 로 주어지며, 여기서 ${\rm Par}(\omega)$ 는 코homology에서 1을 표현하는 컴팩트 지지, 닫힘, 등변수 형태이다.
• 기호 $\sigma_b$ 를 가진 접촉 사례에서는 지수가 $\operatorname{index}^{K,M}_{c}(\sigma_b)(e^X) = (2i\pi)^{-n} \int_M {\rm Todd}(E)(X) \mathcal{J}_{\alpha}(X)$ 로 주어지며, 여기서 $\mathcal{J}_{\alpha}(X) = \alpha \int_{\mathbb{R}} e^{itD\alpha(X)} dt$ 이다.
• 기호 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma_b)$ 의 $E^{*}$ 에서의 섬유 통합은 $(2i\pi)^n {\rm Todd}(E^{*})(X)^{-1}$ 을, $\mathbb{R}$ 에서의 통합은 $(2i\pi) \mathcal{J}_{\alpha}(X)$ 를 유도하여 최종 공식을 도출한다.
• 공식은 타원적 및 횡단 타입의 경우를 통합한다: $P$ 가 타원적일 경우 공식은 아티야-보트-세갈-싱어 고정점 공식으로 축소된다.
• ${\rm Par}(\omega)$ 의 구성 방식 $\chi + d\chi \frac{\omega}{D\omega(X)}$ 는 진동적 적분 $-i\int_0^\infty e^{itD\omega} dt$ 를 사용하여 일반화된 의미에서 잘 정의됨을 보장한다.
• 결과적으로, 지지가 있는 초록 기호 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma) {\rm Par}(\omega)$ 를 통한 코homological 지수와 횡단 타입의 에르미트 연산자에 대한 분석적 지수가 일치함을 증명한다.