[논문 리뷰] Index theory for actions of compact Lie groups on C*-algebras

Charlotte Wahl|ArXiv.org|2007. 07. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 27인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수 위의 컴act Lie 군 작용에 대한 체계적인 지수 이론을 수립하며, 이러한 군에 대해 포화된 작용과 주된 작용이 동치임을 보여준다. 불변 딜라크 연산자로부터 반무한 스펙트럴 트리플을 구성하고, K-이론 페어링과 KK-이론 클래스 [D/] 사이의 지수 정리를 증명하여 토러스 작용의 결과를 확장하고, 쌍대 Pimsner-Voiculescu 수열과 연결한다.

ABSTRACT

We study the index theory for actions of compact Lie groups on C*-algebras with an emphasis on principal actions. Given an invariant semifinite trace on the C*-algebra we obtain semifinite spectral triples. For circle actions we consider the relation to the dual Pimsner-Voiculescu sequence. On the way we show that the notions ``saturated'' and ``principal'' are equivalent for actions by compact Lie groups.

연구 동기 및 목표

• C*-대수 위의 컴 pact Lie 군 작용에 대한 체계적인 지수 이론을 개발하기.
• 컴 pact Lie 군의 맥락에서 '포화된' 작용과 '주요' 작용의 개념 간의 관계를 명확히 하기.
• 군 작용에 대한 불변 딜라크 연산자로부터 반무한 스펙트럴 트리플을 구성하기.
• K*(A)와 KK-이론 클래스 [D/]의 페어링을 위한 지수 정리를 수립하고, 원환면 작용의 경우 쌍대 Pimsner-Voiculescu 수열과 연결하기.
• 기존의 스펙트럴 트리플 및 지수 불변량의 구성들을 포화된 작용으로 일반화하여, 고계수 그래프 C*-대수와 양자 주요 다발을 포함하기.

제안 방법

• C∞(G, A) 위의 불변 연산을 사용하여 C*-대수 위의 유도된 G-_bundle의 부드러운 단면 위에 의사미분 계산을 정의하기.
• 교환곱 대수 A×αG가 컴 pact 연산자 역할을 하는 Atiyah-Singer 유형의 정확한 수열을 K-이론에서 구성하기.
• 컴 pact Lie 군 G 위의 불변 딜라크 연산자 D/를 사용하여 KK*(A, A×αG)에 타원적 원소를 정의하고, [D/]라는 클래스를 유도하기.
• A에 불변 반무한 충실한 측도가 부여된 경우, 교환곱의 복소 von Neumann 대수를 사용하여 불변 딜라크 연산자에 반무한 스펙트럴 트리플을 부여하기.
• 이전 연구 결과(Wahl, 2010)를 활용하여, K*(A)와 [D/]의 지수 페어링의 지수는 K*(A×αG)에서의 측도의 지수와 일치함을 증명하기.
• 문헌에서 알려진 힐베르트 Aα-모듈러 구조로부터 유도된 클래스와 KK-이론 클래스 [D/] 사이의 모리타 동치를 확립하여, 그래프 C*-대수의 결과를 일반화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C*-대수 위의 컴 pact Lie 군 작용에 대해 '포화된' 작용과 '주요' 작용의 개념은 동치인가?
• RQ2 수직 타원적 연산자에 대한 주요 다발 이론과 유사하게, 컴 pact Lie 군 작용에 대한 체계적인 지수 이론을 어떻게 개발할 수 있는가?
• RQ3 불변 딜라크 연산자로부터 유도된 KK-이론 클래스 [D/]와 문헌에 기록된 스펙트럴 트리플 구성 간의 관계는 무엇인가? 특히 그래프 C*-대수의 경우에 대해.
• RQ4 원환면 작용의 경우, K*(A)와 [D/]의 지수 페어링은 쌍대 Pimsner-Voiculescu 수열과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 고계수 그래프 C*-대수 위의 포화된 작용의 경우, 교환곱의 복소 von Neumann 대수가 서로 동형인가?

주요 결과

• C*-대수 위의 컴 pact Lie 군 작용에 대해 '포화된' 작용과 '주요' 작용의 개념은 동치이다.
• 컴 pact Lie 군 G 위의 임의의 불변 딜라크 연산자에 대해, KK*(A, A×αG)에 타원적 원소 [D/]를 구성할 수 있으며, A에 불변 반무한 충실한 측도가 부여된 경우 이는 반무한 스펙트럴 트리플을 유도한다.
• K*(A)와 [D/]의 페어링을 위한 지수 정리를 수립하였으며, 이는 이전 연구(Wahl, 2010)에서 증명된 지수 정리와 일치한다.
• 원환면 작용의 경우, 쌍대 Pimsner-Voiculescu 수열의 여섯 개의 사상이 [D/]와의 카스파로프 곱과 일치하며, 지수 이론과 K-이론 계산을 연결한다.
• 불변 딜라크 연산자로부터 반무한 스펙트럴 트리플을 구성하는 방법은 이전의 그래프 C*-대수와 비틀림 기하학적 대수에 대한 결과들을 일반화하고 통합한다.
• 컴 pact Lie 군이 컴 pact 양자 군 위에 작용하는 것은 포화된 작용임을 보였으며, 이는 이론을 양자 주요 다발으로 확장한다.