[논문 리뷰] Index theory of uniform pseudodifferential operators

Alexander Engel|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 02.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유한성 조건을 만족하는 다중계급, 타원형, 대칭적인 균일한 미분형 연산자에 대해, 유계 기하 구조를 가진 다양체 위에서 Roe의 지수정리의 일반화를 시도한다. 이는 균일한 추정을 포함하는 국소 지수 공식을 수립하며, 핵심 기여는 균일 K-호모로지와 균일 K-이론 사이의 Poincaré 쌍대성 이sovomorphism을 Chern 특성류를 통해 증명한 것으로, 이는 특수한 형태의 Mayer–Vietoris 유도와 완비화된 de Rham 호모로지 이론을 사용하여 이루어진다.

ABSTRACT

We generalize Roe's index theorem for graded generalized Dirac operators on amenable manifolds to multigraded elliptic uniform pseudodifferential operators. This generalization will follow as a corollary from a local index theorem that is valid on any manifold of bounded geometry. This local formula incorporates the uniform estimates that are present in the definition of our class of pseudodifferential operators which is more general than similar classes defined by other authors. We will revisit Spakula's uniform K-homology and show that multigraded elliptic uniform pseudodifferential operators naturally define classes in it. For this we will investigate uniform K-homology more closely, e.g., construct the external product and show invariance under weak homotopies. The latter will be used to refine and extend Spakula's results about the rough Baum-Connes assembly map. We will identify the dual theory of uniform K-homology. We will give a simple definition of uniform K-theory for all metric spaces and in the case of manifolds of bounded geometry we will give an interpretation of it via vector bundles of bounded geometry. Using a version of Mayer-Vietoris induction that is adapted to our needs, we will prove Poincare duality between uniform K-theory and uniform K-homology for spin-c manifolds of bounded geometry. We will construct Chern characters from uniform K-theory to bounded de Rham cohomology and from uniform K-homology to uniform de Rham homology. Using the adapted Mayer-Vietoris induction we will also show that these Chern characters induce isomorphisms modulo torsion.

연구 동기 및 목표

• 아미니티를 만족하는 다양체 위의 일반화된 Dirac 연산자에 대해 원래 Roe의 지수정리를, 임의의 유계 기하 구조를 가진 다양체 위의 다중계급, 타원형, 대칭적인 균일한 미분형 연산자로 확장한다.
• 유한성 조건을 만족하지 않아도 되는 모든 유계 기하 구조를 가진 다양체에서 유효한 국소 지수 공식을 수립하기 위해, 연산자 클래스로부터 유도된 균일한 추정을 통합한다.
• 특히 유계 기하 구조를 가진 다양체를 포함한 메트릭 공간에 대해 균일 K-호모로지와 균일 K-이론을 정의하고 연구하며, Chern 특성류를 통해 이들의 Poincaré 쌍대성을 증명한다.
• 균일 K-호모로지 내의 호모토피 불변성과 외부 곱의 구조를 활용하여 Špakula의 난이도 높은 Baum–Connes 조립 맵을 정밀화하고 확장한다.
• 균일 K-이론에서 유계 de Rham 호모로지로, 그리고 균일 K-호모로지에서 균일 de Rham 호모로지로의 Chern 특성류를 구성하며, 완비화와 토르션 제거 후에 이들이 동형사상이 됨을 보인다.

제안 방법

• 유계 기하 구조를 가진 다양체 위의 새로운 균일한 미분형 연산자 클래스를 도입하며, 이는 그의 Schwartz 커널과 기호 추정에 대한 균일성 조건을 통해 정의된다.
• 균일한 유계성과 타원형 조건을 만족하는 연산자들로 구성된 사이클을 통해 균일 K-호모로지를 정의하고, 약한 호모토피 하에서의 외부 곱과 호모토피 불변성을 확립한다.
• 균일 K-이론과 K-호모로지에 적합한 형태의 Mayer–Vietoris 유도를 구성하여, 유계 기하 구조를 가진 스피너^c 다양체에 대해 Poincaré 쌍대성을 증명할 수 있도록 한다.
• Connes의 순환 호모로지 이론을 통해 유계 de Rham 호모로지와 균일 de Rham 호모로지를 정의하고, 적응된 Mayer–Vietoris 프레임워크를 사용하여 이들의 쌍대성을 확립한다.
• 균일 K-이론에서 유계 de Rham 호모로지로, 균일 K-호모로지에서 균일 de Rham 호모로지로의 Chern 특성류를 구성하며, 완비화 후 토르션 제거 과정을 거친 후에 이들이 동형사상이 됨을 보인다.
• Dirac 클래스와의 cap 곱, Chern 특성류, 그리고 유계 de Rham 호모로지 내의 위상적 지수 클래스를 포함하는 교환 다이어그램을 통해 국소 지수 공식을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아미니티 조건을 만족하는 다양체 위에서 Roe의 지수정리를, 임의의 유계 기하 구조를 가진 다양체 위의 다중계급, 타원형, 대칭적인 균일한 미분형 연산자로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이러한 연산자를 자연스럽게 분류할 수 있는 균일 K-호모로지 이론이 존재하는가? 그리고 이는 Špakula의 원래 구성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 적절한 형태의 Mayer–Vietoris 유도를 사용하여, 유계 기하 구조를 가진 스피너^c 다양체에 대해 균일 K-이론과 균일 K-호모로지 사이의 Poincaré 쌍대성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 균일 K-이론과 K-호모로지에서 각각 유계 및 균일 de Rham (호모로지) 이론으로의 Chern 특성류가 완비화 및 토르션 제거 후에 동형사상이 되는가?
• RQ5 이 틀은 경계를 가진 다양체로 확장될 수 있는가? 그리고 Atiyah–Patodi–Singer 지수정리의 대규모 척도 버전과 유사한 일반화된 η-불변량이 존재하는가?

주요 결과

• 아무런 아미니티 조건 없이도, 임의의 유계 기하 구조를 가진 다양체 위의 다중계급, 타원형, 대칭적인 균일한 미분형 연산자에 대해 국소 지수 공식이 수립된다.
• 균일 K-호모로지가 약한 호모토피에 대해 불변이며, 잘 정의된 외부 곱을 갖는 것으로 밝혀졌으며, 이는 Špakula의 원래 구성의 정밀화이다.
• 특수한 형태의 Mayer–Vietoris 유도를 통해, 유계 기하 구조를 가진 스피너^c 다양체에 대해 균일 K-이론과 균일 K-호모로지 사이의 Poincaré 쌍대성이 증명된다.
• 균일 K-이론에서 유계 de Rham 호모로지로, 균일 K-호모로지에서 균일 de Rham 호모로지로의 Chern 특성류가 구성되었으며, 완비화 후 토르션 제거 과정을 거친 후에 이들이 동형사상이 됨을 보였다.
• 유계 de Rham 호모로지 내의 위상적 지수 클래스는 균일 Roe 대수 위의 추적을 통해 분석적 지수와 대응되며, 이는 Roe의 결과를 균일한 미분형 연산자 전체 클래스로 일반화한다.
• 이 틀은 경계를 가진 비유계 다양체로의 지수이론 확장을 위한 기반을 제공하며, Potentially Atiyah–Patodi–Singer 정리와 $b$-계산의 일반화 가능성도 포함한다.