[논문 리뷰] Indices of the iterates of $R^3$-homeomorphisms at Lyapunov stable fixed points

Francisco R. Ruiz del Portal, José Manuel Salazar|ArXiv.org|2007. 04. 18.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 리아푸노프 안정 고정점이 있는 방향 보존 $ℝ^3$-위상동형사상들을 구성하여, $m$ 번째 반복의 고정점 지수의 절댓값이 주어진 임의의 양의 수열 $\{c_m\}$보다 더 빠르게 증가하도록 하며, 지수 수열이 유계가 아님을 증명한다. 이 구성은 플로우 박스와 윌슨의 정리를 이용한 벡터장 수정을 통해 원점 주변의 콘 안에 복잡한 역학을 임베딩함으로써 이루어지며, 평면 역학과는 근본적인 차이를 보인다. 평면 역학에서는 지수가 유계이자 주기적임을 알 수 있다.

ABSTRACT

Given any positive sequence (\{c_n\}_{n \in {\Bbb N}}), we construct orientation preserving homeomorphisms (f:{\Bbb R}^3 o {\Bbb R}^3) such that (Fix(f)=Per(f)=\{0\}), (0) is Lyapunov stable and (\limsup \frac{|i(f^m, 0)|}{c_m}= \infty). We will use our results to discuss and to point out some strong differences with respect to the computation and behavior of the sequences of the indices of planar homeomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 리아푸노프 안정 고정점이 있는 $ℝ^3$-위상동형사상의 반복에 대한 고정점 지수 수열의 행동을 조사하는 것.
• 이러한 지수 수열이 주어진 양의 수열 $\{c_m\}$에 대해 임의로 빠르게 증가할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• ℝ³에서의 역학을 평면 사례에서 잘 알려진 주기적 행동을 보이는 지수와 대비시키는 것.
• 문제 2.3.1을 해결함으로써, $ℝ^3$에서 안정 고정점에 대해 지수 성장의 유계성 실패를 보여주는 것.

제안 방법

• 상반공간 $\pi^+$에서 벡터장 $X(x,y,z) = (-x,-y,z)$를 구성하고, 원점 근처 궤도를 포착하는 플로우를 정의한다.
• 윌슨의 정리를 적용하여 특정 플로우 박스 $U_k$ 및 $V_k$에서 벡터장을 수정함으로써, 제어된 주기 궤도를 가진 局소 역학을 생성한다.
• 원점에서만 0이 되는 버블 함수 $\gamma$를 사용하여 $X_1 = \gamma G$ 형태의 매끄럽고 컴acts지지된 벡터장을 정의함으로써 매끄러움과 컴팩트 지지를 확보한다.
• $\pi^+$에서 수산의 주기 궤도를 가진 플로우 $\psi$를 구성하고, 감소하는 수열 $t_n \to 0$을 선택하여 $\psi(t_n, \cdot)$가 고정점과 주기점으로 원점 외에 아무것도 갖지 않도록 한다.
• 원점 주위의 대칭 콘 $E(T_{j,m})$에 시간-$t_n$ 사상 $\psi(t_n, \cdot)$의 복제본을 콘을 보존하는 위상동형사상 $h_m$을 사용하여 붙여넣음으로써 리아푸노프 안정성을 확보한다.
• 최종적으로 각 콘에서의 국소 역학을 전역 위상동형사상 $h_0$와 조합하여, 각 콘에서 국소 매핑과 일치시키고 원점을 유일한 고정점 및 주기점으로 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향 보존 $ℝ^3$-위상동형사상에서 원점에 리아푸노프 안정 고정점이 있을 때, 고정점 지수 수열 $|i(f^m, 0)|$이 주어진 양의 수열 $\{c_m\}$보다 더 빠르게 증가할 수 있는가?
• RQ2 ℝ³에서 안정 고정점에 대해 지수 성장의 유계성 실패가 평면 위상동형사상에서 관찰되는 유계이자 주기적인 행동과 뚜렷한 대비를 이룬다.
• RQ3 최대 불변 집합이 단일점이 아니고, 2차원 원판과 가 countable한 원들의 가족을 포함하더라도 이러한 무한성 지수 수열을 구성할 수 있는가?
• RQ4 셰브와 샐리번의 추측은 주기점의 성장과 레프셰츠 수의 관계를 다루지만, $ℝ^3$에서 고정점 지수로 대체될 경우 이 추측이 무효화되는가?
• RQ5 리아푸노프 안정성과 함께 고정점 및 주기점 집합이 자명함을 유지하면서 지수 수열을 무한하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 양의 수열 $\{c_m\}$에 대해, $\limsup_{m \to \infty} \frac{|i(f^m, 0)|}{c_m} = \infty$를 만족하는 방향 보존 $ℝ^3$-위상동형사상 $f$가 존재함을 보여, 지수의 무한성 증가를 증명한다.
• 구성된 위상동형사상 $f$는 $Fix(f) = Per(f) = \{0\}$를 만족하며, $0$은 리아푸노프 안정이며, 원점 중심의 닫힌 공 $B$에 대해 $Inv(B, f)$는 닫힌 2차원 원판 $B \cap \{z=0\}$과 일치한다.
• 정리 2의 위상동형사상 $h$는 $\limsup_{m \to \infty} \frac{\log |i(h^m, 0)|}{m} = \infty$를 만족하여 지수 크기의 초지수적 성장을 나타낸다.
• $h$의 지수 수열은 정리 1의 관련 위상동형사상 $f$와 일치하며, 둘 다 $\{0\}$이 고립 불변 집합인 위상동형사상의 극한이다.
• 구성 과정은 평면 역학에서 사용하는 극점 방법이 실패함을 보여주며, $Inv(B,f)$가 2차원 원판을 포함할 경우 관련 극점이 고립 불변 집합이 아니기 때문이다.
• 방향을 뒤집는 위상동형사상 $S \circ F$ 및 $S \circ H$의 경우, 홀수 번 반복은 지수 1을 가지며, 짝수 번 반복은 $i((S \circ H)^{2k}, 0) = -1 + 2i(h^{2k}, 0)$를 만족하여 짝수 지수에서의 무한성 증가를 반영한다.