[논문 리뷰] Individual-level randomness in a nonatomic population

Edward J. Green|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 01.

Economic theories and models참고 문헌 7인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 비원자 측도 공간으로 지시된 무수히 큰 i.i.d. 무작위 벡터의 가족을 구성하여 경제적 응용을 위한 정확한 Glivenko-Cantelli 아날로그와 동질 샘플링 특성을 달성한다.

ABSTRACT

This paper provides a construction of an uncountable family of i.i.d. random vectors, indexed by the points of a nonatomic measure space, such that (a) a sample is a measurable function from the index space, and (b) an idealization of the Glivenko-Cantelli theorem holds exactly with respect to the measure on that space. That is, samples possess a.s. the distribution from which they are drawn. Moreover, any subspace of the index space with positive measure inherits the same property. This homogeneity property is important for applications of the construction in economics.

연구 동기 및 목표

• 대규모 경제에서 특이적 위험(idiosyncratic risks)을 가진 모델에 대해 안전한 기초의 필요성을 동기화한다.
• 비원자 확률 공간으로 지시된 무수히 큰 i.i.d. 가족의 집합론적 구성을 제공한다.
• 샘플이 모집단 분포를 보존하고 모집단 측도에 대해 정확히 Glivenko-Cantelli 유사 특성을 보인다.
• 모든 양의 측도 하위공간이 동일한 샘플링 특성을 상속받는 동질성 특성을 보여준다.

제안 방법

• 지정된 분포를 갖는 i.i.d. 무작위 벡터 가족을 정의하기 위해 집합론적 Kolmogorov-유형 구성 방법을 사용한다.
• 단위 구간 점이 아니라 추상적인 비원자 확률 공간의 원소들로 무작위 벡터들을 지표한다.
• 이중 Kolmogorov 확장 프레임워크를 통해 동질적 샘플-분포 극한을 생성하는 풍부한 함수를 구성한다.
• 모집단 측도에 대해 Glivenko-Cantelli 성질의 정확한 아날로지를 만족하는 샘플-분포 극한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 샘플이 지수 공간의 가측 함수인 비원자 공간으로 인덱싱된 무수히 큰(i.e., uncountable) 동질 i.i.d. 무작위 벡터 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 비원자 연속 공간에서 Glivenko-Cantelli 정리의 정확한 아날로지를 얻는 것이 가능한가?
• RQ3 확률 측도로 정규화했을 때 모든 양의 측도 부분공간이 동일한 샘플링 특성을 상속받는가?

주요 결과

• 원자 공간이 아닌 공간으로 지시된 무수히 큰 i.i.d. 무작위 벡터의 가족이 존재하며, 원하는 정확한 샘플링 특성을 가진다.
• 구성은 샘플이 지표 공간의 측도에 대해 거의 항상 원래의 i.i.d. 벡터들과 동일한 분포를 갖도록 한다.
• 양의 측도를 갖는 지표 공간의 어떤 부분공간도 확률 측도로 정규화될 때 동일한 샘플링 특성을 유지한다.
• 동질적인 샘플-분포 극한이 달성되며, 모집단의 측정가능 부분집합에 대해 Glivenko-Cantelli 이상화의 버전이 만족된다.
• 완만한 조건하에서, 구축된 동질 한계는 두 인수(샘플과 모집단)에서 공동 측정가능하지 않으며, 이러한 한계 객체의 근본적인 비측정 가능 특성을 반영한다.