[논문 리뷰] Individual Risk and Lebesgue Extension without Aggregate Uncertainty

Yeneng Sun, Yongchao Zhang|ArXiv.org|2008. 03. 04.

Economic theories and models인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 개별 위험을 수반하는 연속 모델에서 표본 가측성 문제를 해결하기 위해 르베그 단위구간의 푸비니 확장(Lebesgue unit interval)을 구축한다. 이 확장은 임의의 분포를 가진 본질적으로 쌍별로 독립적인 확률과정을 수용하며, 집합적 위험이 상쇄되는 정확한 대수의 법칙을 만족시킨다. 핵심 기여는 개별 위험이 집계를 통해 상쇄되는 가측성 있는 에이전트 공간을 제공함으로써, 집합적 불확실성이 없는 상태를 만족시킨다는 점이다.

ABSTRACT

Many economic models include random shocks imposed on a large number (continuum) of economic agents with individual risk. In this context, an exact law of large numbers and its converse is presented in Sun (2006) to characterize the cancelation of individual risk via aggregation. However, it is well known that the Lebesgue unit interval is not suitable for modeling a continuum of agents in the particular setting. The purpose of this paper is to show that an extension of the Lebesgue unit interval does work well as an agent space with various desirable properties associated with individual risk.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 르베그 단위구간이 비가측 표본 함수로 인해 실패하는 연속 모델에서의 표본 가측성 문제를 해결하기 위해.
• 르베그 단위구간의 확장을 사용하여 개별 위험이 있는 연속적인 에이전트 집단을 모델링할 수 있는 타당한 에이전트 공간이 될 수 있음을 보여주기 위해.
• 본질적으로 쌍별로 독립적인 확률과정이 임의의 분포를 가지며 가측 표본 경로를 갖는 푸비니 확장을 구성하기 위해.
• 이 확장된 프레임워크에서 연합 집단의 집합적 확실성(aggregate certainty)이 성립함을 확립하여, 개별 위험이 집계 수준에서 상쇄됨을 보장하기 위해.
• 르베그 단위구간의 적절한 확장이 존재하여 개별 위험 하에서 정확한 대수의 법칙을 만족시킬 수 있는지에 대한 열린 질문에 대한 긍정적인 답변을 제공하기 위해.

제안 방법

• бог다르스키 공간 $(C \times \Omega, \mathcal{E}, \nu)$ 에서 $I \times \Omega$ 로의 가측 동형사상 $\psi$ 를 사용하여, 곱공간 $(I \times \Omega, \mathcal{I} \otimes \mathcal{F}, \lambda \otimes P)$ 의 푸비니 확장 $(I \times \Omega, \mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}, \lambda \boxtimes P)$ 을 구성하기 위해.
• $\mathcal{W}$ 에서의 새로운 확률측도 $\rho$ 를 다음과 같이 후퇴(푸시포워드)를 통해 정의한다: $\rho(H) = \nu[(\psi, \mathrm{Id}_\Omega)^{-1}(H)]$ for $H \in \mathcal{W}$, 이로써 $\rho$ 가 $\lambda \otimes P$ 를 확장함을 보장한다.
• 모든 $H \in \mathcal{W}$ 에 대해 적분 항등식 $\rho(H) = \int_\Omega \lambda(H_\omega) \, dP$ 와 $\rho(H) = \int_I P(H_i) \, d\lambda$ 를 확인하여, 확장된 확률공간 $(I \times \Omega, \mathcal{W}, \rho)$ 가 푸비니 성질을 만족함을 증명한다.
• 동형사상 $\psi$ 를 사용하여 가측 구조를 이전한다: $H \in \mathcal{W}$ 이면 $H_\omega = \psi(E_\omega)$ 와 $H_i = E_{\psi^{-1}(i)}$ 를 만족한다. 여기서 $E = (\psi, \mathrm{Id}_\Omega)^{-1}(H)$ 이다.
• 원래 측도 $\nu$ 가 $C \times \Omega$ 에서 푸비니 성질을 가지므로, 후퇴 $\rho$ 를 통해 이를 상속함을 이용한다.
• 논문 [23] 의 보조정리 4 를 적용하여, 임의의 가측적 분포 할당 $\varphi: I \to \mathcal{M}(X)$ 에 대해, $\mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}$-가측 과정 $g$ 가 존재함을 보여, $g_i$ 가 $\lambda$-거의 모든 $i$ 에 대해 분포 $\varphi(i)$ 를 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 본질적으로 쌍별로 독립적인 과정의 표본 함수가 가측이 되는 르베그 단위구간의 푸비니 확장을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 확장이 임의의 분포를 갖는 과정을 지원하면서도 정확한 대수의 법칙을 유지할 수 있는가?
• RQ3 가측적 르베그 단위구간의 확장을 사용하여 개별 위험이 있는 연속 모델에서 연합 집단의 집합적 확실성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 르베그 단위구간에 의해 인덱싱된 i.i.d. 과정에서의 표본 가측성 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ5 연속적인 에이전트 집단을 모델링하면서도 집계에 의한 위험 상쇄가 가능하도록 하기 위해, 확률공간이 만족해야 할 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 본질적으로 쌍별로 독립적인 과정에 대해 가측 표본 경로를 지원하는 르베그 단위구간의 확장인 푸비니 확장 $(I \times \Omega, \mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}, \lambda \boxtimes P)$ 이 구성되었다.
• 구성된 확장은 임의의 가측적 분포 할당 $\varphi(i)$ 에 대해, $\lambda$-거의 모든 $i$ 에 대해 분포 $\varphi(i)$ 를 갖는 $\mathcal{I} \boxtimes \mathcal{F}$-가측 과정 $g$ 가 존재함을 보장한다.
• 확장은 푸비니 성질을 만족한다: 모든 $H \in \mathcal{W}$ 에 대해 $\rho(H) = \int_\Omega \lambda(H_\omega) \, dP$ 와 $\rho(H) = \int_I P(H_i) \, d\lambda$ 이다. 이는 조건부 및 주변 적분 간의 일관성을 보장한다.
• 이 확장에서 가측인 본질적으로 쌍별로 독립적인 과정의 표본 함수는 르베그 가측이며, 기존 모델의 표본 가측성 문제를 해결한다.
• 연합 집단의 집합적 확실성은 성립한다: $\lambda(S) > 0$ 인 임의의 연합 $S$ 에 대해 $f^S$ 의 집합적 합은 거의 확실히 일정하며, 집계 수준에서 위험이 상쇄됨을 확인한다.
• 결과적으로, 르베그 단위구간은 비가측 표본 경로로 인해 개별 위험을 위한 에이전트 공간으로 실패하지만, 푸비니 확장을 통해 정확한 대수의 법칙과 위험 상쇄를 지원하는 데 성공함을 확인한다.