[논문 리뷰] Induced minors and well-quasi-ordering

B{\l}asiok, Jaros{\l}aw, Marcin Kamiński외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 24.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유도 부분 그래프 관계 하에서 잘순서형성(wqo)에 대한 이분법 정리(dichotomy theorem)를 수립한다: H-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프의 클래스는 H가 진짜로 진짜로 유도 부분 그래프를 갖는 진짜로 유도 부분 그래프인 Gem(P4에 중심이 되는 정점이 추가된 그래프) 또는 bK4(K4에 차수 2인 정점을 추가한 그래ph)의 유도 부분 그래프일 때이고 그때에만 wqo이다. 증명은 bK4- 및 Gem-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프에 대한 두 가지 새로운 분해 정리와 무한한 반사계열의 구조적 분석에 기반하며, 이는 이전의 부분그래프 및 유도 부분그래프에 대한 결과를 유도 부분 그래프 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

A graph $H$ is an induced minor of a graph $G$ if it can be obtained from an induced subgraph of $G$ by contracting edges. Otherwise, $G$ is said to be $H$-induced minor-free. Robin Thomas showed that $K_4$-induced minor-free graphs are well-quasi-ordered by induced minors [Graphs without $K_4$ and well-quasi-ordering, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 38(3):240 -- 247, 1985]. We provide a dichotomy theorem for $H$-induced minor-free graphs and show that the class of $H$-induced minor-free graphs is well-quasi-ordered by the induced minor relation if and only if $H$ is an induced minor of the gem (the path on 4 vertices plus a dominating vertex) or of the graph obtained by adding a vertex of degree 2 to the complete graph on 4 vertices. To this end we proved two decomposition theorems which are of independent interest. Similar dichotomy results were previously given for subgraphs by Guoli Ding in [Subgraphs and well-quasi-ordering, Journal of Graph Theory, 16(5):489--502, 1992] and for induced subgraphs by Peter Damaschke in [Induced subgraphs and well-quasi-ordering, Journal of Graph Theory, 14(4):427--435, 1990].

연구 동기 및 목표

• 유도 부분 그래프 관계 하에서 H-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프의 클래스가 잘순서형성(wqo)이 되는 그래프 H를 규명하는 것.
• Ding(1992)의 부분그래프에 대한 이전의 이분법 결과와 Damaschke(1990)의 유도 부분그래프에 대한 결과를 유도 부분 그래프 설정으로 확장하는 것.
• 유도 부분 그래프 설정에서 wqo와 비-wqo 클래스를 분리하는 경계 그래프를 규명하는 것.
• bK4- 및 Gem-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프의 구조적 분해를 제공하여 wqo를 증명하는 데 중심적인 역할을 하는 것.

제안 방법

• bK4-유도 부분 그래프를 갖지 않는 2연결 그래프와 Gem-유도 부분 그래프를 갖지 않는 2연결 그래프에 대한 두 가지 분해 정리를 개발하였다.
• bK4-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프가 유도 부분 그래프에 대해 닫혀 있는 유한 개의 구조적 유형으로 분류됨을 보여, 이로써 wqo임을 증명하였다.
• Gem-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프가 최대 6개의 정점을 제거한 후 이들의 분리합집합이 코그래프와 경로로 이루어지므로 wqo임을 증명하였다.
• 유도 부분 그래프 관계를 유지하는 단조 함수를 구성하기 위해 잘순서형성된 레이블을 가진 그래프 유형을 사용하였다.
• 모든 H가 Gem 또는 bK4의 유도 부분 그래프와 동형이 아닐 경우, 무한한 반사계열을 분석하여 비-wqo임을 보였다.
• 그래프 미니처 이론의 기법을 적응하여 유도 부분 그래프 설정에 적용함으로써 Robertson-Seymour 이론 프레임워크를 유도 부분 그래프에 적용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 그래프 H에 대해 H-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프의 클래스가 유도 부분 그래프 관계 하에서 잘순서형성(wqo)이 되는가?
• RQ2 특히 H가 bK4 또는 Gem일 경우, H를 유도 부분 그래프로 갖지 않는 그래프의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ3 부분그래프 및 유도 부분그래프에 대한 이분법 결과와 유사하게, 유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프 유형에 대해 완전한 이분법을 설정할 수 있는가?
• RQ4 유도 부분 그래프 관계 하에서 wqo를 방해하는 최소한의 그래프는 무엇인가?
• RQ5 bK4- 및 Gem-자유 그래프에 대한 분해 정리는 wqo 성질을 어떻게 뒷받침하는가?

주요 결과

• H-유도 부분 그래프를 갖지 않는 그래프의 클래스가 유도 부분 그래프에 대해 잘순서형성(wqo)이 되는 것은 H가 Gem 또는 bK4의 유도 부분 그래프일 때이고 그때에만 성립한다.
• Gem(P4에 중심이 되는 정점이 추가된 그래프)과 bK4(K4에 차수 2인 정점을 추가한 그래프)는 유도 부분 그래프 설정에서 wqo를 방해하는 유일한 두 개의 최소 장애물이다.
• bK4-유도 부분 그래프를 갖지 않는 2연결 그래프는 K4를 포함하지 않거나, K4의 부분분할 또는 K3,3 또는 프리즘 또는 작은 휠과 완전 다중분할 그래프로 분할되는 구조로 특성화된다.
• Gem-유도 부분 그래프를 갖지 않는 2연결 그래프는 최대 6개의 정점을 제거하면 코그래프와 경로의 분리합집합이 되며, 이는 닫힘 성질을 통해 wqo를 가능하게 한다.
• 두 유형 모두에 대해 wqo를 증명하는 데는 유도 부분 그래프 순서를 유지하는 데 새로운 레이블링 및 재레이블링 기법이 핵심이다.
• 논문은 완전한 이분법을 수립하여, Damaschke와 Ding의 부분그래프 및 유도 부분그래프에 대한 이전 결과의 유도 부분 그래ph 해석을 해결한다.