[논문 리뷰] Induced subdivisions of $K_{d+1}$ in graphs of high girth

António Girão, Zach Hunter|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 10.

Finite Group Theory Research인용 수 0

한 줄 요약

저자들은 d ≥ 10^8이고 girth가 최소 10^8인 모든 그래프에 대해 최소 차수 d를 가진 그래프는 K_{d+1}의 유도 부분도를 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that for all $k\geq 10^8$, every graph with minimum degree $k$ and girth at least $10^8$ contains an induced subdivision of a $K_{k+1}$. This answers a problem asked by Kühn and Osthus (originally attributed to Shi).

연구 동기 및 목표

• 높은 girth 하에서의 유도 부분도 연구를 알려진 위상적 clique 결과의 강화로 동기를 부여한다.
• 높은 girth와 함께 큰 최소 차수는 d를 10^8까지로 두고 K_{d+1}-의 유도 부분도를 강제한다는 것을 보인다.
• 유도 부분도의 존재를 입증하기 위한 자립적인 확률적 및 극값 그래프 프레임워크를 제공한다.
• 경계가 작은 고도로 연결된 부분구조를 찾는 것으로 문제를 축소하는 구조 보조정리들을 개발한다.

제안 방법

• favorable 하위구조를 구성할 때 확률적 선택을 다루기 위해 Lovász Local Lemma를 활용한다.
• 유도된 K_{d+1}-subdivisions를 구축하기 위해 subdivisions와 linkedness에 관한 알려진 결과를 활용한다.
• 신중하게 선택된 정점 집합과 연관된 짧은 유도 경로들로 보조 그래프를 구성하여 부분도를 실현한다.
• 퇴화, 경계(argument), 그리고 높은 girth 제약을 적용하여 경로의 유도성(inducedness)과 서로 다른 경로의 분리를 보장한다.
• 적합한 분지가능한 정점을 가진 고도로 연결된 하위그래프를 얻는 구조적 분해를 반복한다.
• 분기 가능한 정점 구성으로부터 induced K_{d+1}-subdivision을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Does there exist a function h(r) such that every graph with minimum degree at least r and girth at least h(r) contains an induced subdivision of K_{r+1}?
• RQ2 Can h(r) be chosen as an absolute constant independent of r? (Specifically for large r).
• RQ3 What structural mechanisms (degeneracy, connectivity, boundary size) guarantee induced subdivisions under high girth?
• RQ4 How do probabilistic methods interact with extremal graph constructs to produce induced subdivisions in sparse settings?

주요 결과

• For d ≥ 10^8 and girth at least 10^8, every graph with minimum degree d contains an induced subdivision of K_{d+1} (Theorem 1.1).
• The paper develops a suite of lemmas (degeneracy, boundary control, k-connectedness, and linkedness) to guarantee the existence of a structure yielding an induced K_{d+1}-subdivision.
• A probabilistic construction, aided by the Lovász Local Lemma, yields a substructure H with minimum degree at least d^6 and sufficient branchable vertices, culminating in the induced subdivision.
• The approach handles very unbalanced bipartite subgraphs and shows that high girth prevents short cycles that could obstruct inducedness.
• Two main case analyses in the proof of Theorem 1.1 cover when a large subset of A′ exists or not, ensuring the result in all configurations considered.
• The result answers a question attributed to Shi and raised by Kühn and Osthus regarding induced subdivisions under high girth.