[논문 리뷰] Induced subgraphs and tree decompositions II. Toward walls and their line graphs in graphs of bounded degree

Tara Abrishami, Maria Chudnovsky외 5명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 02.

Advanced Graph Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대 차수와 충분히 큰 트리너비를 갖는 그래프는 반드시 $t$-스퍼터, $t$-피라미드, 또는 $k\times k$-월의 분할의 라인 그래프를 포함하는 유도 부분그래프를 가져야 한다고 규명한다. 또한 임의의 삼차 분할 카르페티라 $T$에 대해, 이러한 그래프는 반드시 $T$의 분할 또는 그 분할의 라인 그래프를 유도 부분그래프로 가져야 하며, 이는 최대 차수 제약이 있는 트리너비가 큰 그래프에서의 구조적 보편성을 확인한다.

ABSTRACT

This paper is motivated by the following question: what are the unavoidable induced subgraphs of graphs with large treewidth? Aboulker et al. made a conjecture which answers this question in graphs of bounded maximum degree, asserting that for all $k$ and $Δ$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a subdivision of the $(k imes k)$-wall or the line graph of a subdivision of the $(k imes k)$-wall as an induced subgraph. We prove two theorems supporting this conjecture, as follows. 1. For $t\geq 2$, a $t$-theta is a graph consisting of two nonadjacent vertices and three internally disjoint paths between them, each of length at least $t$. A $t$-pyramid is a graph consisting of a vertex $v$, a triangle $B$ disjoint from $v$ and three paths starting at $v$ and disjoint otherwise, each joining $v$ to a vertex of $B$, and each of length at least $t$. We prove that for all $k,t$ and $Δ$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a $t$-theta, or a $t$-pyramid, or the line graph of a subdivision of the $(k imes k)$-wall as an induced subgraph. This affirmatively answers a question of Pilipczuk et al. asking whether every graph of bounded maximum degree and sufficiently large treewidth contains either a theta or a triangle as an induced subgraph (where a theta means a $t$-theta for some $t\geq 2$). 2. A subcubic subdivided caterpillar is a tree of maximum degree at most three whose all vertices of degree three lie on a path. We prove that for every $Δ$ and subcubic subdivided caterpillar $T$, every graph with maximum degree at most $Δ$ and sufficiently large treewidth contains either a subdivision of $T$ or the line graph of a subdivision of $T$ as an induced subgraph.

연구 동기 및 목표

• 최대 차수가 유계이고 트리너비가 큰 그래프에서 피할 수 없는 유도 부분그래프를 규명하는 것.
• Aboulker 등이 제기한 추측을 해결하는 것: 이러한 그래프는 반드시 $k\times k$-월 또는 그 라인 그래프를 유도 부분그래프로 포함해야 한다는 것.
• 기존의 금지된 유도 부분그래프와 트리너비에 관한 결과를 확장하여, 유계 차수 가족에서의 구조적 보편성을 특성화하는 것.
• 모든 삼차 분할 카르페티라 $T$에 대해, 최대 차수가 $\Delta$ 이하이고 트리너비가 충분히 큰 그래프는 반드시 $T$의 분할 또는 그 라인 그래프를 유도 부분그래프로 가져야 한다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• $t$-스퍼터와 $t$-피라미드를 핵심 금지 부분구조로 도입하며, 이는 길이 $t$ 이상의 내부적으로 분리된 세 경로로 정의된다.
• $t$-스퍼터와 $t$-피라미드를 포함하는 세 경로와 중심 정점 집합을 포함하는 특정 구성인 $(k,t)$-크리처 기반의 재귀적 분해를 사용한다.
• 포스터 기반 방법을 적용: $S_{t_{i}+1,t_{i}+1,t_{i}+1}+H$를 $S_{t_i,t_i+1,t_i+1}$-포스터로 구성하여 특정 구성의 발생을 차단한다.
• $i$에 대한 귀납법을 활용하여, $(i,t_i)$-크리처와 월 분할의 라인 그래프를 피하는 클래스에서 트리너비를 유계로 제한한다.
• 그리드 정리와 Robertson-Seymour 이론을 활용하여 트리너비와 유도 부분그래프 포함성 간의 관계를 규명한다.
• 레마 6.5를 적용하여, $T$의 분할과 그 라인 그래프를 모두 피하는 그래프들은 유계 트리너비를 갖는다는 것을 보이며, 이는 반드시 포함되어야 할 부분그래프가 존재함을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 차수가 유계이고 트리너비가 큰 그래프는 반드시 $t$-스퍼터, $t$-피라미드, 또는 $(k\times k)$-월의 분할의 라인 그래프를 유도 부분그래프로 가져야 하는가?
• RQ2 모든 최대 차수가 유계이고 충분히 큰 트리너비를 갖는 그래프는 주어진 삼차 분할 카르페티라 $T$의 분할 또는 그 분할의 라인 그래프를 유도 부분그래프로 가져야 하는가?
• RQ3 일부 유도 부분그래프(예: $t$-스퍼터 또는 월 분할의 라인 그래프)의 부재가 트리너비를 유계로 만드는가?
• RQ4 어떤 구조적 구성(예: $(k,t)$-크리처)이 최대 차수 제약이 있는 그래프에서 큰 트리너비를 방해하는 장애물이 되는가?
• RQ5 포스터 구성은 유전적 그래프 클래스에서 트리너비 유계성을 증명하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 $k,t,\Delta$에 대해, 최대 차수가 $\Delta$ 이하이고 충분히 큰 트리너비를 갖는 그래프는 반드시 $t$-스퍼터, $t$-피라미드, 또는 $(k\times k)$-월의 분할의 라인 그래프를 유도 부분그래프로 포함한다.
• 이 결과는 Pilipczuk 등이 제기한 추측을 확인하며, 이러한 그래프는 반드시 $t$-스퍼터(즉, $t\geq 2$인 경우의 스퍼터) 또는 삼각형을 유도 부분그래프로 가져야 한다는 것을 보여준다.
• 모든 삼차 분할 카르페티라 $T$에 대해, 최대 차수가 $\Delta$ 이하이고 충분히 큰 트리너비를 갖는 그래프는 반드시 $T$의 분할 또는 $T$의 분할의 라인 그래프를 유도 부분그래프로 포함해야 한다.
• 분할과 그 라인 그래프를 모두 피하는 그래프의 집합은 유계 트리너비를 갖는다. 이는 $\Delta$와 $T$에 따라 일관되게 유계이다.
• $(i,t_i)$-크리처와 월 분할의 라인 그래프를 피하는 클래스에서 트리너비를 유계로 제한하기 위해, 순차열 $t_i = t(1+\Delta)^{k-i}$를 사용하는 재귀적 귀납적 추론을 적용한다.
• 증명은 $t$-스퍼터, $t$-피라미드, 월 분할의 라인 그래프의 부재가 최대 차수 제약 하에서도 트리너비를 유계로 만든다는 것을 규명한다.