[논문 리뷰] Inducibility of d-ary trees

Éva Czabarka, Audace A. V. Dossou-Olory외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 11.

Graph theory and applications참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 외부 차수 $d \geq 2$를 가진 루트가 있는 트리인 $d$-ary 트리의 유도 가능성(inducibility)을 도입하고 연구한다. 특히 잎으로 유도되는 부분트리의 점근적 최대 밀도에 초점을 맞춘다. 이는 이론적으로 이진 캣터필러가 모든 $d$-ary 트리에서 최대 유도 가능성 1을 달성하며, 엄격한 $d$-ary 트리의 경우 최대 밀도와 유도 가능성의 차이가 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$로 감소함을 증명한다. 일반적인 $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ bound보다 향상된 결과이다. 이론적으로 이진 트리의 유도 가능성은 $d$에 따라 영향을 받지 않으며, 일반적인 하한값이 도출된다.

ABSTRACT

Imitating a recently introduced invariant of trees, we initiate the study of the inducibility of $d$-ary trees (rooted trees whose vertex outdegrees are bounded from above by $d\geq 2$) with a given number of leaves. We determine the exact inducibility for stars and binary caterpillars. For $T$ in the family of strictly $d$-ary trees (every vertex has $0$ or $d$ children), we prove that the difference between the maximum density of a $d$-ary tree $D$ in $T$ and the inducibility of $D$ is of order $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ compared to the general case where it is shown that the difference is $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ which, in particular, responds positively to an existing conjecture on the inducibility in binary trees. We also discover that the inducibility of a binary tree in $d$-ary trees is independent of $d$. Furthermore, we establish a general lower bound on the inducibility and also provide a bound for some special trees. Moreover, we find that the maximum inducibility is attained for binary caterpillars for every $d$.

연구 동기 및 목표

• 이진 트리의 유도 가능성 개념을 외부 차수가 $d$인 $d$-ary 트리로 확장한다. 여기서 비잎자식이 2개 이상 $d$개 이하의 자식을 가진다.
• 별과 이진 캣터필러와 같은 기본적인 $d$-ary 트리의 정확한 유도 가능성 값을 결정한다.
• 고정된 $d$-ary 트리 $D$가 더 큰 $d$-ary 트리 $T$ 안에서 최대 밀도의 점근적 행동을 분석하고, 이론적 수렴 속도를 정량화한다.
• 이전 연구에서 제기된 이진 트리에 대한 추측을 해결하기 위해, 엄격한 $d$-ary 트리의 경우 최대 밀도와 유도 가능성의 차이가 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$임을 증명한다.
• 비이진 트리에 대해 $d$-ary 트리에서의 유도 가능성은 $d$에 따라 달라지는지 조사한다.

제안 방법

• 비잎자식이 2개 이상 $d$개 이하의 자식을 가진 $d$-ary 트리 $D$의 유도 가능성 $i_d(D)$를 정의한다. 이는 더 큰 $d$-ary 트리 $T$ 내에서 잎으로 유도되는 $D$의 복제본의 최대 밀도의 상한극한으로 정의된다.
• 잎 부분집합에 대해 최소 부분트리를 구성하고, 루트일 수 있는 경우를 제외한 차수 2 정점들을 제거함으로써 잎으로 유도되는 부분트리의 개념을 도입한다.
• 조합론적 경계와 점근적 분석을 활용하여, $\mathcal{F}(S_1; S_2)$ 구조를 이용한 일반적인 하한값을 도출한다. 이는 루트에 $|S_1|$개의 $S_2$ 복제본을 부착한 트리이다.
• 극단적 조합론과 귀납법을 적용하여, $d^{k-2}$개 이상의 잎을 가진 임의의 $d$-ary 트리는 반드시 $k$-잎 이진 캣터필러 $F^2_k$를 포함함을 증명한다. 이는 핵심적인 구조적 결과이다.
• 플래그 대수 기반의 추론과 극한 분석을 활용하여, 엄격한 $d$-ary 트리의 경우 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ 수렴 속도를 유도한다.
• 재귀적 구성과 밀도 비교를 통해, 이진 트리 $D$의 $d$-ary 트리 내 유도 가능성은 $d$에 영향을 받지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $d \geq 2$에 대해 별과 이진 캣터필러의 정확한 유도 가능성은 무엇인가?
• RQ2 크기가 커지는 $d$-ary 트리 $T$에 대해, 고정된 $d$-ary 트리 $D$의 최대 밀도와 그 유도 가능성 사이의 차이가 $|T| \to \infty$일 때 어떻게 감소하는가?
• RQ3 이론적으로 이진 트리의 $d$-ary 트리 내 유도 가능성은 $d$에 따라 달라지지 않으며, 이는 이전 연구에서 제기된 추측과 일치하는가?
• RQ4 어느 $d$-ary 트리가 최대 유도 가능성 1을 달성하며, 이는 이진 캣터필러 외에 존재하는가?
• RQ5 비이진 $d$-ary 트리의 유도 가능성은 $d$에 따라 달라지거나, $d \geq 2$ 전반에서 일정한가?

주요 결과

• 모든 $d \geq 2$와 $k \geq 2$에 대해 $k$-잎 이진 캣터필러 $F^2_k$의 유도 가능성은 $d$-ary 트리에서 정확히 1이며, 이는 최대 유도 가능성 1을 가지는 유일한 $d$-ary 트리이다.
• 엄격한 $d$-ary 트리(모든 비잎자식이 정확히 $d$개의 자식을 가짐)의 경우, $d$-ary 트리 $D$의 최대 밀도와 그 유도 가능성 사이의 차이는 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$로 감소하며, 일반적인 $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ bound를 향상시킨다.
• 이론적으로 이진 트리 $D$의 $d$-ary 트리 내 유도 가능성은 $d$에 영향을 받지 않으며, $i_d(D) = i_{d+1}(D) = \cdots$를 만족한다. 이는 이전 연구에서 제기된 추측을 확인한다.
• 재귀적 트리 구성과 유도된 부분트리 수의 점근적 분석을 통해 $d$-ary 트리에 대한 일반적인 하한값을 확립하였다.
• 최대 유도 가능성 1은 오직 이진 캣터필러에서만 달성되며, 다른 모든 $d$-ary 트리는 유도 가능성 1을 달성하지 못한다.
• 비이진 $d$-ary 트리에 대해 유도 가능성은 $d$에 따라 달라질 수 있으며, 이는 오직 이진 트리에서만 $d$-독립적인 유도 가능성 값을 가지는 것으로 추측하는 데에 근거를 제공한다.