[논문 리뷰] Induction and Co-induction in Sequent Calculus

Alwen Tiu, Alberto Momigliano|ArXiv.org|2008. 12. 27.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 증명 이론적 정의의 개념을 통해 고차수 추상 문법(HOAS)을 통합한 귀납적 및 코-귀납적 추론을 가능하게 하는 순차계 ${\rm Linc}^{-}$를 소개한다. 이는 코-귀납적 정의에 대한 처음으로 제시된 削-제거 절차를 제공하여 일致성과 자유 등식 및 내부적 문법 조작을 수반하는 계산 시스템에 대한 형식적 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Proof search has been used to specify a wide range of computation systems. In order to build a framework for reasoning about such specifications, we make use of a sequent calculus involving induction and co-induction. These proof principles are based on a proof theoretic (rather than set-theoretic) notion of definition. Definitions are akin to (stratified) logic programs, where the left and right rules for defined atoms allow one to view theories as "closed" or defining fixed points. The use of definitions makes it possible to reason intensionally about syntax, in particular enforcing free equality via unification. We add in a consistent way rules for pre and post fixed points, thus allowing the user to reason inductively and co-inductively about properties of computational system making full use of higher-order abstract syntax. Consistency is guaranteed via cut-elimination, where we give the first, to our knowledge, cut-elimination procedure in the presence of general inductive and co-inductive definitions.

연구 동기 및 목표

• HOAS 표현과 표준(코)귀납적 추론 간의 불일치 문제를 해결하기 위해.
• HOAS를 사용하여 귀납과 코-귀납을 모두 활용하는 일관된 프레임워크를 제공하기 위해.
• 통일을 통한 자유 등식 강제를 통해 HOAS에서의 이국적 항목과 적합성 상실 문제를 해결하기 위해.
• 귀납과 코-귀납을 모두 지원하면서도 削-제거와 일관성을 유지하는 논리를 설계하기 위해.
• 운영 의미론에서 타입 보존성과 이sov러런스 동치성 등의 메타이론적 성질을 통합된 증명 이론적 환경에서 형식화할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 고정점 정의를 위한 계층적 논리 프로그램에 유사한 증명 이론적 정의 개념을 사용하여 고정점을 정의한다.
• 귀납을 위해 전-고정점(pre-fixed points)과 코-귀납을 위해 후-고정점(post-fixed points)을 도입하며, 이는 불변성과 시뮬레이션에 대응한다.
• 최소 및 최대 고정점의 존재를 보장하기 위해 정의에 계층 조건을 부과하여 단조성을 확보한다.
• 귀납 및 코-귀납 규칙이 고정점 방정식에서 유도되는 순차계 프레임워크를 활용한다.
• 고차수 항에 대한 통일을 통한 자유 등식을 강제하여 HOAS 생성자에 대한 단사성, 상이성, 케이스 완전성의 성질을 확보한다.
• 일관성의 증명으로서 削-제거를 확립하며, 이는 순차계에서 코-귀납적 정의에 대해 처음으로 얻어진 결과이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HOAS를 지원하는 고차수 논리에서 귀납적 및 코-귀납적 추론을 일관적으로 통합할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 고정점 정의는 일관성을 해치지 않으면서 귀납과 코-귀납을 모두 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일般적인 코-귀납적 정의를 포함하는 순차계에서 削-제거를 확립할 수 있는가?
• RQ4 HOAS 표현이 이국적 항목을 도입하거나 내부적 제어를 상실하지 않도록 하기 위해 어떻게 할 수 있는가?
• RQ5 순환 증명과 제안된 削-제거 프레임워크 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논리 ${\rm Linc}^{-}$는 $FO\lambda^{\Delta{\rm I}\!{\rm N}}$의 보존적 확장이며, 마르틴-뢰프의 반복 귀납적 정의 이론을 일반화한다.
• 이 논문은 일반적인 코-귀납적 정의를 포함하는 순차계에 대해 처음으로 削-제거 절차를 제시하여 일관성을 보장한다.
• ${\rm Linc}^{-}$에서 귀납적 및 코-귀납적 추론은 각각 전-고정점과 후-고정점에 기반하여 불변성과 시뮬레이션의 형식화를 가능하게 한다.
• HOAS 표현에서 ${\rm Linc}^{-}$는 통일을 통한 자유성 성질(단사성, 상이성, 케이스 완전성)을 강제하여 이국적 항목을 방지한다.
• 이 프레임워크는 운영 의미론에서 타입 보존성과 이sov러런스 동치성 등의 메타이론적 성질에 대한 형식적 추론을 지원한다.
• 削-제거 결과는 ${\rm Linc}^{-}$를 $\nabla$-양화자 또는 순환 증명을 포함하는 더 표현력 있는 시스템으로 확장하기 위한 기반을 제공한다.