[논문 리뷰] Inductive Definition and Domain Theoretic Properties of Fully Abstract Models for PCF and PCF

Vladimir Sazonov|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 21.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순차적이고 비결정적인 계산 전략을 기반으로 하여 PCF 및 PCF+에 대한 완전 추상 모델의 수준별 구성법을 제안한다. 이 모델들은 오메가-완비성 또는 표준 dcpo가 아니므로 전통적인 도메인 이론적 성질이 성립하지 않지만, 여전히 완전 추상성과 순차적 완비성, 자연 연속성, 자연 대수성 등의 핵심 도메인 이론적 성질을 확립한다.

ABSTRACT

A construction of fully abstract typed models for PCF and PCF+ (i.e., PCF+ “parallel conditional function”), respectively, is presented. It is based on general notions of sequential computational strategies and wittingly consistent non-deterministic strategies introduced by the author in the seventies. Although these notions of strategies are old, the definition of the fully abstract models is new, in that it is given level-by-level in the finite type hierarchy. To prove full abstraction and non-dcpo domain theoretic properties of these models, a theory of computational strategies is developed. This is also an alternative and, in a sense, an analogue to the later game strategy semantics approaches of Abramsky, Jagadeesan, and Malacaria; Hyland and Ong; and Nickau. In both cases of PCF and PCF+ there are definable universal (surjective) functionals from numerical functions to any given type, respectively, which also makes each of these models unique up to isomorphism. Although such models are non-omega-complete and therefore not continuous in the traditional terminology, they are also proved to be sequentially complete (a weakened form of omega-completeness), “naturally” continuous (with respect to existing directed “pointwise”, or “natural” lubs) and also “naturally” omega-algebraic and “naturally” bounded complete—appropriate generalisation of the ordinary notions of domain theory to the case of non-dcpos.

연구 동기 및 목표

• PCF 및 PCF+에 대한 새로운 수준별 완전 추상 모델의 구성
• 이러한 모델에 대한 완전 추상성과 비-dcpo 도메인 이론적 성질의 확립
• 표준 도메인 이론 개념들(예: 오메가-완비성, 대수성)을 '자연스러운' 완비성과 연속성의 개념으로 비-dcpo에 일반화하기
• 숫자 함수에서 임의의 유형으로의 정의 가능한 전사 함수를 통해 이러한 모델의 동형 사상에 대한 유일성 입증

제안 방법

• 저자가 이전에 발표한 일반적인 순차적 및 비결정적 계산 전략의 개념을 활용
• 유한 유형 계층에서 수준별로 모델을 구성
• 완전 추상성과 도메인 이론적 성질을 증명하기 위해 새로운 계산 전략 이론 개발
• 기존 도메인 이론 개념의 일반화로 '자연스럽게' 연속적, '자연스럽게' 오메가-대수적, '자연스럽게' 유계 완비적인 구조 도입
• 각 모델이 숫자 함수에서 주어진 유형으로의 정의 가능한 전사 함수를 갖는 것을 증명
• 비-dcpo 환경에서 오메가-완비성의 약화된 형태인 순차적 완비성을 확립

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PCF 및 PCF+에 대한 완전 추상 모델을 유한 유형 계층에서 수준별 접근법으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 표준 dcpo 또는 오메가-완비가 아닌 모델에 대해 도메인 이론적 성질을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 정의 가능한 전이 함수가 동형 사상에 대한 모델의 유일성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 전통적인 연속성의 부재 속에서 계산 전략은 완전 추상성에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 비-dcpo 모델에서 '자연스러운' 연속성과 완비성의 정의는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 모델은 PCF 및 PCF+ 모두에 대해 완전 추상적이다.
• 모델들은 오메가-완비성이 아니므로 전통적인 의미에서 연속적이지 않지만, 순차적으로 완비적이다.
• 기존의 방향성 있는 '점별' 또는 '자연스러운' 상한에 대해 '자연스럽게' 연속적이다.
• 모델들은 '자연스럽게' 오메가-대수적이고 '자연스럽게' 유계 완비적이며, 표준 도메인 이론 개념을 비-dcpo로 일반화한다.
• 모든 모델은 숫자 함수에서 임의의 유형으로의 정의 가능한 전사 함수의 존재로 인해 동형 사상에 대해 유일하다.
• 계산 전략 이론은 야브람스키, 하이랜드, 옹 등의 후속 게임 의미론 접근법과 대체 가능한 이론적 기반을 제공한다.