[논문 리뷰] Inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions

Riku Klén, Матти Вуоринен외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 25.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 p-Laplacian을 통해 정의된 일반화된 삼각함수 및 쌍곡함수로 고전적 삼각함수 및 쌍곡함수 부등식—예를 들어 Mitrinović-Adamović, Lazarević의, Huygens 유형, Wilker 유형, Cuza-Huygens 유형의 부등식—을 일반화한다. l’Hôpital 단조성 규칙과 함수 해석학을 사용하여 핵심 함수의 엄밀한 단조성 및 볼록성/오목성 성질을 입증하고, p=2일 때 고전적 결과로 줄어드는 새로운 부등식을 도출한다.

ABSTRACT

The generalized trigonometric functions occur as an eigenfunction of the Dirichlet problem for the one-dimensional $p-$Laplacian. The generalized hyperbolic functions are defined similarly. Some classical inequalities for trigonometric and hyperbolic functions, such as Mitrinović-Adamović inequality, Lazarević's inequality, Huygens-type inequalities, Wilker-type inequalities, and Cuza-Huygens-type inequalities, are generalized to the case of generalized functions.

연구 동기 및 목표

• p-Laplacian에서 유도된 일반화된 p-버전의 삼각함수 및 쌍곡함수를 포함하는 고전적 부등식을 일반화한다.
• 일반화된 사인,余弦, tangent 및 그 쌍곡함수 형태의 단조성 및 볼록성 성질을 확립한다.
• p=2일 때 알려진 고전적 부등식으로 줄어드는 날카로운 일반화된 함수 부등식을 제공한다.
• Mitrinović-Adamović, Lazarević의, Huygens 유형, Wilker 유형, Cuza-Huygens 유형의 부등식을 일반화된 설정으로 일반화한다.
• Takeuchi가 제안한 더 넓은 (p,q)-함수 프레임워크로 고전적 함수 부등식을 확장하는 기초를 마련한다.

제안 방법

• 비율의 단조성을 증명하기 위해 중심적인 분석 도구로 l’Hôpital 단조성 규칙(LMR)을 사용한다.
• 역 적분을 통해 일반화된 삼각함수 및 쌍곡함수를 정의한다: $\arcsin_p(x) = \int_0^x (1 - t^p)^{-1/p} dt$, $\sin_p$는 이를 역함수로 한다.
• 미분 항등식을 유도한다: $\frac{d}{dx}\sin_p(x) = \cos_p(x)$ 및 $\frac{d}{dx}\tanh_p(x) = 1 - |\tanh_p(x)|^p$.
• LMR를 $\frac{\tan_p(x)}{x}$, $\frac{\sinh_p(x)}{x}$, $\frac{\tanh_p(x)}{x}$와 같은 함수 비율에 적용하여 엄밀한 단조성을 입증한다.
• 로그로 변환된 함수의 도함수를 분석하여 $f_1(t) = \cos_p(x/t)^t$와 같은 함수의 로그 오목성 및 볼록성 성질을 분석한다.
• 대칭성과 함수 항등식을 활용한다: $|\sin_p(x)|^p + |\cos_p(x)|^p = 1$ 및 $\cosh_p(x)^p - |\sinh_p(x)|^p = 1$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p > 1일 때 고전적 부등식인 Mitrinović-Adamović 및 Lazarević의 부등식을 일반화된 삼각함수로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 함수들—예를 들어 $\frac{\sin_p(x)}{x}$, $\frac{\tanh_p(x)}{x}$, $\frac{\sinh_p(x)}{x}$—의 단조성 및 볼록성 성질은 무엇인가?
• RQ3 Huygens 유형 및 Wilker 유형의 부등식은 날카로운 경계를 갖는 p-Laplacian 프레임워크로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 일반화된 함수 $\sin_p(x)$, $\cos_p(x)$, $\sinh_p(x)$, $\cosh_p(x)$는 $x \mapsto x/t$와 같은 변환 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 Takeuchi가 제안한 이중 매개변수 $(p,q)$-함수로 이러한 결과를 확장할 잠재력은 무엇인가?

주요 결과

• 함수 $f_2(x) = \frac{\tan_p(x)}{x}$는 $p > 1$일 때 $(0, \pi_p/2)$에서 엄밀히 증가하며, $x \in (0,k)$에 대해 $1 < \frac{\tan_p(x)}{x} < \frac{\tan_p(k)}{k}$이다.
• 함수 $f_1(x) = \frac{\sin_p(x)}{x}$는 $(0, \pi_p/2)$에서 엄밀히 감소하며, $x \in (0,k)$에 대해 $\frac{\sin_p(x)}{x} < \frac{\sin_p(k)}{k}$이다.
• 함수 $f_3(x) = \frac{\sinh_p(x)}{x}$는 $(0, \infty)$에서 엄밀히 증가하며, $x \in (0,k)$에 대해 $\frac{x}{\text{arcsinh}_p(x)} < \frac{\sinh_p(x)}{x} < \frac{bx}{\text{arcsinh}_p(bx)}$이다. 여기서 $b = \frac{\sinh_p(k)}{k}$이다.
• 함수 $f_4(x) = \frac{\tanh_p(x)}{x}$는 $(0, \infty)$에서 엄밀히 감소하며, $x \in (0,k)$에 대해 $\frac{x}{\text{arctanh}_p(x)} < \frac{\tanh_p(x)}{x} < \frac{cx}{\text{arctanh}_p(cx)}$이다. 여기서 $c = \frac{\tanh_p(k)}{k}$이다.
• 함수 $f_1(t) = \cos_p(x/t)^t$는 $(2x/\pi_p, \infty)$에서 엄밀히 증가하고 로그로 오목하며, $g_1(s) > 0$이므로 $\log f_1(t)$는 증가한다.
• 함수 $f_4(t) = \cosh_p(x/t)^t$는 $(0, \infty)$에서 엄밀히 감소하고 로그로 볼록하며, $g_4(s)$가 엄밀히 감소하므로 $\log f_4(t)$는 볼록하다.