[논문 리뷰] Inequities in the Shanks-Renyi Prime Number Race: An asymptotic formula for the densities

Daniel Fiorilli, Greg Martin|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 24.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 16인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 셰익스–레니의 소수 경주에서 $a$가 $q$에 대해 비제곱이고 $b$가 제곱임을 조건으로 하여, 로그 밀도 $\delta(q;a,b)$에 대해 임의로 작은 오차 항을 갖는 점점의 급수를 수립한다. 주요 기여는 분산 $V(q;a,b)$에 대한 정확한 유한 공식을 제시한 것으로, 이는 $a$와 $b$의 산술적 성질에 기반해 편향 크기를 정확히 예측할 수 있게 한다. 특히 소수의 거듭제곱이 아닌 비제곱은 비제곱 중에서 더 큰 밀도를 갖는다.

ABSTRACT

Chebyshev was the first to observe a bias in the distribution of primes in residue classes. The general phenomenon is that if $a$ is a nonsquare\\mod q and $b$ is a square\\mod q, then there tend to be more primes congruent to $a\\mod q$ than $b\\mod q$ in initial intervals of the positive integers; more succinctly, there is a tendency for $\\pi(x;q,a)$ to exceed $\\pi(x;q,b)$. Rubinstein and Sarnak defined $\\delta(q;a,b)$ to be the logarithmic density of the set of positive real numbers $x$ for which this inequality holds; intuitively, $\\delta(q;a,b)$ is the "probability" that $\\pi(x;q,a) > \\pi(x;q,b)$ when $x$ is "chosen randomly". In this paper, we establish an asymptotic series for $\\delta(q;a,b)$ that can be instantiated with an error term smaller than any negative power of $q$. This asymptotic formula is written in terms of a variance $V(q;a,b)$ that is originally defined as an infinite sum over all nontrivial zeros of Dirichlet $L$-functions corresponding to characters\\mod q; we show how $V(q;a,b)$ can be evaluated exactly as a finite expression. In addition to providing the exact rate at which $\\delta(q;a,b)$ converges to $\\frac12$ as $q$ grows, these evaluations allow us to compare the various density values $\\delta(q;a,b)$ as $a$ and $b$ vary modulo $q$; by analyzing the resulting formulas, we can explain and predict which of these densities will be larger or smaller, based on arithmetic properties of the residue classes $a$ and $b\\mod q$. For example, we show that if $a$ is a prime power and $a'$ is not, then $\\delta(q;a,1) < \\delta(q;a',1)$ for all but finitely many moduli $q$ for which both $a$ and $a'$ are nonsquares. Finally, we establish rigorous numerical bounds for these densities $\\delta(q;a,b)$ and report on extensive calculations of them.

연구 동기 및 목표

• GRH와 LI를 가정할 때 $q \to \infty$일 때 편향 밀도 $\delta(q;a,b)$가 $\frac{1}{2}$로 수렴하는 속도를 정량화하는 것.
• 원래는 디리클레 $L$-함수의 비자명한 영점에 대한 무한합으로 정의된 분산 $V(q;a,b)$에 대해 명시적이고 유한한 공식을 도출하는 것.
• 해석적 영점이 아닌 산술적 불변량을 사용하여, 서로 다른 잔여류 $a$와 $b$에 대해 $\delta(q;a,b)$의 상대적 크기를 예측하고 비교하는 것.
• 큰 모듈러스에 대해 엄밀한 수치적 경계를 계산하고, $\delta(q;a,b)$를 직접 계산하여 극단적인 편향을 식별하는 것.

제안 방법

• GRH와 LI를 가정하여, 소수 개수의 차이에 대한 특성 함수를 사용해 $\delta(q;a,b)$에 대한 점점 급수를 유도한다.
• 디리클레 특성에 대한 산술 합과 해석적 항의 정확한 평가를 통해 분산 $V(q;a,b)$를 유한합으로 표현한다.
• 특성 함수와 그 도함수에 대한 경계를 사용해 점점 전개의 오차 항을 제어한다.
• 중심극한정리 프레임워크를 적용하여 $\pi(x;q,a) - \pi(x;q,b)$의 분포를 가우시안 과정으로 모델링한다.
• 고전적 함수와 특성 합의 명시적 추정을 사용해 $V(q;a,b)$와 $\delta(q;a,b)$에 대한 엄밀한 수치적 경계를 구현한다.
• 117개의 밀도 값이 $\frac{9}{10}$을 초과하는 것을 확인하기 위해 광범위한 계산을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러스 $q$가 증가함에 따라 $\delta(q;a,b)$가 $\frac{1}{2}$로 수렴하는 속도는 어떻게 되며, 이 속도는 명시적 오차 항을 통해 정량화할 수 있는가?
• RQ2 편향을 결정하는 분산 $V(q;a,b)$는 $L$-함수의 영점에 대한 무한합이 아닌, 정확한 유한 표현으로 계산될 수 있는가?
• RQ3 $a$와 $b$의 모듈로 $q$에 대한 산술적 성질 중 어떤 것이 $\delta(q;a,b)$가 다른 $\delta(q;a',b')$보다 크거나 작은지를 결정하는가?
• RQ4 왜 일부 잔여류, 예를 들어 소수의 거듭제곱이 아닌 비제곱은 다른 것들보다 항상 더 큰 밀도를 갖는가?
• RQ5 가장 큰 $\delta(q;a,b)$의 값은 얼마이며, 어떤 쌍 $(q,a,b)$가 이를 달성하는가?

주요 결과

• 논문은 $\delta(q;a,b)$에 대해 $q$의 어떤 음의 거듭제곱보다도 작은 오차를 갖는 점점 급수를 도출하여, 편향 수렴의 고정밀 분석을 가능하게 한다.
• 분산 $V(q;a,b)$가 특성 합과 산술 데이터를 포함하는 유한합으로 정확히 계산 가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 $L$-함수의 영점 수치 계산에 의존하지 않음을 의미한다.
• 모든 유한한 $q$를 제외한 나머지에 대해, $a$가 소수의 거듭제곱이고 $a'$가 그렇지 않다면, $q$에 대해 비제곱일 때 $\delta(q;a,1) < \delta(q;a',1)$임을 보여주며, 이는 비제곱 중에서 비소수 거듭제곱 비제곱에 유리한 구조적 편향을 드러낸다.
• 저자들은 $\frac{9}{10}$을 초과하는 117개의 서로 다른 밀도 값을 계산하고 검증하였으며, 그 중 가장 큰 값은 $\delta(24;5,1) = 0.999988$로, 특정 소수 경주에서 극단적인 편향이 있음을 확인한다.
• $\delta(q;a,b)$에 대한 엄밀한 수치적 경계가 확립되어 모든 계산된 값의 정확성이 보장되며, Bays–Hudson의 거울 영상 현상은 유도된 공식을 통해 설명된다.
• 논문은 $\delta(q;a,1) = \delta(q;a^{-1},1)$ 및 $\delta(q;a,1) = \delta(q;ab,b)$임을 확인하였으며, 이는 비제곱 $a$와 제곱 $b$에 대해 계산의 대칭성을 검증한다.