[논문 리뷰] Inequivalent $Z_2^n$-graded brackets, $n$-bit parastatistics and statistical transmutations of supersymmetric quantum mechanics

M. M. Balbino, Isaque P. de Freitas외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 02.

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-그레이드 리(super)대수에서 그레이드 자코비 항등식과 호환되는 $b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1$개의 서로 다른 괄호가 존재함을 입증하며, 이를 통해 일반 통계를 $n$-비트 파라통계로 일반화한다. 이 틀을 적용하여 ${\cal N}$-확장된 일차원 초대칭 양자역학이 ${\cal N} = 1,2,4,8$일 때 각각 $s_{\cal N} = 2,6,10,14$개의 서로 다른 통계 전환을 유도함을 보이며, 표준 보존 또는 페르미온으로는 실현할 수 없는 새로운 에너지 준위 겹침을 초래한다.

ABSTRACT

Given an associative ring of $Z_2^n$-graded operators, the number of inequivalent brackets of Lie-type which are compatible with the grading and satisfy graded Jacobi identities is $b_n= n+\lfloor n/2 floor+1$. This follows from the Rittenberg-Wyler and Scheunert analysis of "color" Lie (super)algebras which is revisited here in terms of Boolean logic gates. The inequivalent brackets, recovered from $Z_2^n imes Z_2^n ightarrow Z_2$ mappings, are defined by consistent sets of commutators/anticommutators describing particles accommodated into an $n$-bit parastatistics (ordinary bosons/fermions correspond to $1$ bit). Depending on the given graded Lie (super)algebra, its graded sectors can fall into different classes of equivalence expressing different types of (para)bosons and/or (para)fermions. As a first application we construct $Z_2^2$ and $ Z_2^3$-graded quantum Hamiltonians which respectively admit $b_2=4$ and $b_3=5$ inequivalent multiparticle quantizations (the inequivalent parastatistics are discriminated by measuring the eigenvalues of certain observables in some given states). As a main physical application we prove that the $N$-extended, $1D$ supersymmetric and superconformal quantum mechanics, for $N=1,2,4,8$, are respectively described by $s_{N}=2,6,10,14 $ alternative formulations based on the inequivalent graded Lie (super)algebras. These numbers correspond to all possible "statistical transmutations" of a given set of supercharges which, for ${N}=1,2,4,8$, are accommodated into a $Z_2^n$-grading with $n=1,2,3,4$ (the identification is $N= 2^{n-1}$). In the simplest ${N}=2$ setting (the $2$-particle sector of the de DFF deformed oscillator with $sl(2|1)$ spectrum-generating superalgebra), the $Z_2^2$-graded parastatistics imply a degeneration of the energy levels which cannot be reproduced by ordinary bosons/fermions statistics.

연구 동기 및 목표

• 그레이드 자코비 항등식과 결합된 모든 서로 다른 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-그레이드 리(super)대수를 분류하고, 그들이 결합된 링 곱셈과 호환됨을 확인한다.
• 입자들이 그레이드 섹터에 따라 보존, 파라보존, 페르미온, 또는 파라페르미온으로 분류되는 $n$-비트 파라통계로 일반 통계(1-비트)를 일반화한다.
• ${\cal N}$-확장 초대칭 양자역학에 이 이론적 틀을 적용하여, 서로 다른 그레이드 괄호로부터 유도되는 다양한 통계 전환이 어떻게 발생하는지 규명한다.
• ${\cal N} = 1,2,4,8$일 때, 서로 다른 양자화의 수가 각각 $s_{\cal N} = 2,6,10,14$임을 입증하며, 이는 $n=1,2,3,4$ 비트에 해당한다.
• 이러한 전환이 표준 통계로는 재현할 수 없는, ${\cal N}=2$의 경우에서 물리적으로 다른 에너지 준위 겹침을 초래함을 보여준다.

제안 방법

• ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-그레이드 괄호의 수 $b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1$를 Rittenberg-Wyler 및 Scheunert의 색깔 리(super)대수 분석을 통해 유도한다.
• $n$-비트 파라통계의 일관된 교환/반교환 규칙을 분류하기 위해 부울 논리 게이트를 사용하여 괄호를 재구성한다.
• $n=2,3$에 대해 $b_2=4$ 및 $b_3=5$개의 서로 다른 다중입자 양자화를 가진 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-그레이드 양자 해밀토니안을 구성한다.
• 다른 그레이드 섹터에 초과자와 빈칸을 할당하여 서로 다른 그레이드 리(super)대수를 생성하며, 허수, 분할 허수, 이중 허수로부터의 명시적 예를 제시한다.
• ${\cal N}=2$의 de Alfaro-Fubini-Furlan 진동자 모델을 분석하여 ${\mathbb{Z}}_{2}^{2}$-그레이드 구조가 표준 통계에서 부재한 에너지 준위 겹침을 유도함을 보여준다.
• 이중 허수의 $3_{5,i}$, $3_{5,ii}$, $3_{5,iii}$ 부분의 명시적 (반)교환 관계를 사용하여, 서로 다른 대각 행렬 기저를 가진 서로 다른 실형(super)대수의 존재를 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그레이드 자코비 항등식과 $n$-비트 파라통계의 결합된 링 곱셈과 호환되는 서로 다른 ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-그레이드 리 괄호는 몇 개인가?
• RQ2 $n$-비트 그레이드 연산 대수에서 유도되는 서로 다른 그레이드 리(super)대수의 최소 수 $b_n$은 얼마이며, $n$이 증가함에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 다른 '표시된' 연산자를 그레이드 섹터에 할당할 때, $b_n$ 기초 수를 초월해 추가로 서로 다른 그레이드 리(super)대수를 생성하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 ${\cal N}=1,2,4,8$에 대해 ${\cal N}$-확장 초대칭 양자역학이 다수의 서로 다른 파라통계적 양자화로 실현될 수 있으며, 만약 가능하면 그 수는 얼마인가?
• RQ5 이러한 서로 다른 양자화가 표준 보존/페르미온 통계로 재현할 수 없는 물리적으로 다른 에너지 스펙트럼, 특히 ${\cal N}=2$의 경우에 대해 초래하는가?

주요 결과

• ${\mathbb{Z}}_{2}^{n}$-그레이드 괄호 중 그레이드 자코비 항등식과 호환되는 것은 총 $b_n = n + \lfloor n/2\rfloor + 1$개이며, $b_2 = 4$ 및 $b_3 = 5$이다.
• $n=2$일 때 허수 대수는 $c_2 = 4 = b_2$개의 서로 다른 그레이드 리(super)대수를 생성하지만, 분할 허수는 $c_2 = 6 > b_2$개, 이중 허수는 $c_3 = 16 > b_3 = 5$개를 생성하여 표시된 연산자가 서로 다른 실현 수를 증가시킴을 보여준다.
• ${\cal N}=2$의 de Alfaro-Fubini-Furlan 진동자 모델은 $sl(2|1)$ 스펙트럼 생성 대수를 가지며, ${\mathbb{Z}}_{2}^{2}$-그레이드 파라통계 하에서 표준 보존 또는 페르미온으로는 실현할 수 없는 에너지 준위 겹침을 나타낸다.
• ${\cal N}=1,2,4,8$일 때 초과자의 통계 전환 수는 각각 $s_{\cal N} = 2,6,10,14$이며, 이는 ${\cal N} = 2^{n-1}$ 관계를 통해 $n=1,2,3,4$ 비트에 해당한다.
• 이중 허수에서 유도된 세 개의 서로 다른 $\mathbb{Z}_2^3$-그레이드 슈퍼대수 $3_{5,i}$, $3_{5,ii}$, $3_{5,iii}$에 대해 명시적 (반)교환 관계를 사용하여, 서로 다른 대각 행렬 기저를 가진 서로 다른 실형을 확인하며, 예를 들어 $(-1,+1,+1,+1)$ 및 $(-1,-1,+1,+1)$ 등이 있다. 이는 그들이 서로 다른 실형임을 확인한다.
• $3_{5,i}$ 및 $3_{5,iii}$ 부분의 경우 파라페르미온 생성자에 대한 대각 행렬 기저가 다르므로, 동일한 그레이드 슈퍼대수의 서로 다른 실형임을 확인하며, 이중 허수의 경우 총 $n_B = 16$개의 서로 다른 그레이드 리(super)대수가 존재한다.