[논문 리뷰] Inference on Directionally Differentiable Functions

Zheng Fang, Andres Santos|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 14.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 38인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 방향 미분 가능한 매개변수의 기능적 기능에 대한 추론을 위한 일관된 부트스트랩 방법을 개발하며, 기능적 기능이 완전히 미분 가능하지 않은 경우 표준 부트스트랩이 실패함을 보여준다. 방향 도함수를 일관되게 추정하는 수정된 재표본화 방법을 제안하여 비정규 근사 분포 하에서도 타당한 추론을 가능하게 하고, 예를 들어 단조성 또는 모멘트 부등식 제약 조건과 같은 볼록 집합을 포함하는 검정에 대한 국소 크기 제어를 제공한다.

ABSTRACT

This paper studies an asymptotic framework for conducting inference on parameters of the form $ϕ(θ_0)$, where $ϕ$ is a known directionally differentiable function and $θ_0$ is estimated by $\hat θ_n$. In these settings, the asymptotic distribution of the plug-in estimator $ϕ(\hat θ_n)$ can be readily derived employing existing extensions to the Delta method. We show, however, that the "standard" bootstrap is only consistent under overly stringent conditions -- in particular we establish that differentiability of $ϕ$ is a necessary and sufficient condition for bootstrap consistency whenever the limiting distribution of $\hat θ_n$ is Gaussian. An alternative resampling scheme is proposed which remains consistent when the bootstrap fails, and is shown to provide local size control under restrictions on the directional derivative of $ϕ$. We illustrate the utility of our results by developing a test of whether a Hilbert space valued parameter belongs to a convex set -- a setting that includes moment inequality problems and certain tests of shape restrictions as special cases.

연구 동기 및 목표

• 표준 부트스트랩 방법이 한정 분포가 정규일 때 방향으로 미분 가능한 기능적 기능에 대한 추론에서 실패하는 이유를 다루는 것.
• ϕ가 방향으로는 미분 가능하지만 완전히 미분 가능하지 않은 매개변수 θ₀에 대해 정의된 φ(θ₀)를 위한 일관된 재표본화 방법을 개발하는 것.
• ϕ가 θ₀에서 완전히 미분 가능할 경우 부트스트랩 일관성의 진단을 제공하는 것.
• 모멘트 부등식 모델이나 형태 제약 조건과 같은 볼록 집합을 포함하는 검정에 대한 국소 크기 제어를 확립하는 것.
• 방향으로 미분 가능성을 활용하여 다양한 계량경제학 문제—예를 들어 랜덤 유틸리티 모델, 단조성 검정—의 추론을 통합하는 것.

제안 방법

• 표준 부트스트랩이 실패하는 상황에서, 방향 도함수 φ′θ₀의 일관된 추정치와 θ̂n의 점근 분포의 부트스트랩 근사치를 조합하는 수정된 부트스트랩을 제안한다.
• Lipschitz 연속성과 확률 수렴으로 φ′θ₀로 수렴하는 방향 도함수의 추정치 시퀀스  ϕ̂′n을 사용한다.
• Hilbert 공간 설정에서 도함수 추정치를 정의하기 위해 투영 연산자 ΠΛ과 탄성 원뿔 Tθ를 사용한다.
• 볼록성 제약 조건 하에서 도함수 추정치의 일관성을 보장하기 위해 볼록 해석학 및 투영 이론(예: Zeidler, 1984)의 결과를 적용한다.
• 가정 3.3 하에서 도함수 추정치의 균일 수렴성과 Lipschitz 연속성의 검증을 통해 일관성을 확립한다.
• 방향 도함수 φ′θ₀(G₀)를 통한 rn(φ(θ̂n) − φ(θ₀))의 점근 정규성을 유도하며, 비미분 가능 함수 φ에 대해 델타 방법을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 부트스트랩이 방향으로 미분 가능한 매개변수의 기능적 기능에 대해 일관되게 작동하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 ϕ가 완전히 미분 가능하지 않더라도 θ̂n이 부트스트랩 일관성이 있을 때 표준 부트스트랩이 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 표준 부트스트랩이 실패할 경우에도 일관성이 유지되는 수정된 재표본화 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ4 모멘트 부등식 모델과 같은 볼록 집합을 포함하는 추론 문제에서 국소 크기 제어를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ5 비정규 점근 설정에서 부트스트랩 일관성의 진단이 될 수 있는 분석 조건—다양한 미분 가능성에 기반하여—는 무엇인가?

주요 결과

• ϕ가 θ₀에서 완전히 미분 가능할 때, 표준 부트스트랩 일관성이 성립하는 것은 필수적이고 충분한 조건이며, 이는 θ̂n의 한계 분포가 정규일 경우에 한한다.
• 제안된 수정된 부트스트랩은 표준 부트스트랩이 실패하더라도, 방향 도함수 추정치 ϕ̂′n가 확률 수렴으로 φ′θ₀로 수렴할 경우에도 일관성이 유지된다.
• 이 방법은 힐버트 공간에 값을 갖는 매개변수가 볼록 집합에 속해 있는지 여부를 검정하는 데 국소 크기 제어를 보장한다. 이는 모멘트 부등식 문제나 형태 제약 문제에 포함된다.
• ϕ가 볼록 집합 Λ에 대해 볼록일 경우, 투영 ΠΛ과 탄성 원뿔 Tθ의 수렴을 통해 도함수 추정치 ϕ̂′n의 일관성이 확립된다.
• ϕ(θ̂n)의 점근 분포는 φ′θ₀(G₀)로 특징지어지며, 이는 방향으로 미분 가능한 함수로 델타 방법을 일반화한 것이다.
• 논문은 랜덤 유틸리티 모델, 단조성 검정 등의 비표준 문제에서 추론을 통합하는 프레임워크를 제공하며, 이를 방향 도함수 분석으로 환원한다.