[논문 리뷰] Inference on multivariate ARCH processes with large sizes

Gilles Zumbach|ArXiv.org|2009. 03. 09.

Advanced Statistical Process Monitoring인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차원 금융 시계열에서 잔차의 화이트닝을 향상시키기 위해 장기 기억성과 추가로 두 개의 선형 항을 포함한 단순한 다변량 ARCH 모델을 제안한다. 비록 잔차가 상관이 없음을 보였지만, 이는 고차원 공분산 행렬의 정보 부족으로 인해 잔차 크기의 크기가 단위값에서 크게 벗어나기 때문에 기초적인 추론 한계를 드러낸다. 최적의 모델 구조일지라도 이는 추론 정확도를 제한한다.

ABSTRACT

The covariance matrix is formulated in the framework of a linear multivariate ARCH process with long memory, where the natural cross product structure of the covariance is generalized by adding two linear terms with their respective parameter. The residuals of the linear ARCH process are computed using historical data and the (inverse square root of the) covariance matrix. Simple measure of qualities assessing the independence and unit magnitude of the residual distributions are proposed. The salient properties of the computed residuals are studied for three data sets of size 54, 55 and 330. Both new terms introduced in the covariance help in producing uncorrelated residuals, but the residual magnitudes are very different from unity. The large sizes of the inferred residuals are due to the limited information that can be extracted from the empirical data when the number of time series is large, and denotes a fundamental limitation to the inference that can be achieved.

연구 동기 및 목표

• 수백에서 수천 개의 자산을 포함하는 대규모 포트폴리오에 적합한 계산 효율적이고 단순한 다변량 ARCH 모델을 개발하기 위해.
• N이 큰 시계열의 수에서 고차원 공분산 행렬을 추정하는 데 도전하는 데, 표준 GARCH 모델이 매개변수 폭발로 인해 비현실적이게 되는 상황을 다루기 위해.
• 특히 고차원 설정에서 독립성 및 단위 크기 측정법을 활용하여 잔차의 화이트 노이즈 성질을 평가하기 위해.
• 최적의 모델 구조일지라도 공분산 행렬의 작은 고유값으로 인해 발생하는 추론의 기초적 한계를 특정하고 정량화하기 위해.

제안 방법

• 공분산 행렬은 수익률의 이차형식으로 구성되며, 장기 기억 커널과 두 개의 추가 선형 항(수축 및 정규화)을 포함하여 역 변동성의 안정성을 높인다.
• 잔차는 추정된 공분산 행렬의 역제곱근을 사용하여 실현 수익률을 변환함으로써 계산되며, 이는 모델 가정 하에 잔차가 상관이 없는 화이트 노이즈여야 한다는 것을 보장한다.
• 새로운 품질 측정법은 잔차의 독립성과 단위 분산을 평가하여, 다양한 커널과 매개변수 선택에서의 모델 성능 진단 도구를 제공한다.
• 분산 방정식은 선형 비약선형 구조를 사용하여 평균-변동성 매개변수를 피하고, 가중치의 재귀적 계산을 통해 분석적 변동성 예측이 가능하게 한다.
• 다양한 커널(동일 가중치, 지수, 장기 기억)을 평가하고, 안정적이고 화이트 노이즈 유사 잔차를 생성하는 데의 성능을 비교한다.
• 정규화는 공분산 행렬에 적용되어, 특히 포트폴리오 최적화에 유용한 리드라이트와 월프(2004a)의 수축 기법을 영감으로 받아 작은 고유값 문제를 완화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장기 기억성 외에 추가로 두 개의 매개변수만을 포함하는 최소한의 다변량 ARCH 모델이 고차원 금융 자료에서 상관이 없는 잔차를 생성할 수 있는가?
• RQ2 왜 고차원 시스템에서 잔차는 상관이 없음에도 불구하고 단위 분산을 이루지 못하는가?
• RQ3 특히 매우 작은 또는 영인 고유값이 존재할 경우, 공분산 행렬의 고유값 구조가 역 변동성 추정의 신뢰성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 표준 다변량 GARCH 모델이 매개변수 폭발과 경제적 해석 가능성 부족으로 인해 실용적 응용에서 얼마나 실패하는가?
• RQ5 실제 데이터에서 정보가 제한적일 경우, 정규화 및 수축 기법이 고차원 공분산 행렬의 추론을 효과적으로 안정화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 공분산 행렬에 포함된 두 개의 추가 항(수축 및 정규화)은 잔차의 화이트닝을 크게 향상시켜 잔차 자기상관을 감소시킨다.
• 상관이 없는 잔차를 달성했음에도 불구하고, 그 크기의 크기가 단위값에서 크게 벗어나 있어 추론 정확도의 기초적 한계를 시사한다.
• 공분산 행렬의 고유값 감쇠는 지수적일 뿐만 아니라, 매우 작은 고유값의 집중을 초래하여 역 변동성 계산을 불안정하게 한다.
• 행렬이 수학적으로 잘 정의되어 있더라도, 매우 작은 고유값의 누적으로 인해 공분산 행렬의 역제곱근이 불안정한 조건을 이룬다.
• 모델의 분석적 변동성 예측은 임의의 수평선에서 재귀적 가중치 시스템을 통해 계산 가능하여 시뮬레이션 없이도 효율적인 계산이 가능하다.
• 결과는 고차원 추론에서 기초적인 정보 차단 현상이 존재함을 시사한다: 실측 데이터의 정보 부족으로 인해, 모델 구조가 최적이든 간에 역 변동성의 정확한 추정이 불가능하다.