[논문 리뷰] Infimal convolution regularisation functionals of BV and $\mathrm{L}^{p}$ spaces. Part I: The finite $p$ case

Martin Burger, Konstantinos Papafitsoros외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 08.

Numerical methods in inverse problems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 영상 복원에서 계단 효과를 줄이기 위해 총변동성(TV)과 L^p 노름을 조합한 새로운 TV–L^p 최소합성(regularisation) 기능을 제안한다. 잘 정의된 문제성(well-posedness)을 증명하고, p=2인 경우 정확한 1차원 해를 유도하며, p를 증가시킬수록 조각별 애핀(affine) 복원 성능이 향상되고 날카러운 특징을 잘 유지함으로써 표준 TV를 능가하며, Bregman 반복을 통해 TGV 품질에 가까워진다.

ABSTRACT

We study a general class of infimal convolution type regularisation functionals suitable for applications in image processing. These functionals incorporate a combination of the total variation ($\mathrm{TV}$) seminorm and $\mathrm{L}^{p}$ norms. A unified well-posedness analysis is presented and a detailed study of the one dimensional model is performed, by computing exact solutions for the corresponding denoising problem and the case $p=2$. Furthermore, the dependency of the regularisation properties of this infimal convolution approach to the choice of $p$ is studied. It turns out that in the case $p=2$ this regulariser is equivalent to Huber-type variant of total variation regularisation. We provide numerical examples for image decomposition as well as for image denoising. We show that our model is capable of eliminating the staircasing effect, a well-known disadvantage of total variation regularisation. Moreover as $p$ increases we obtain almost piecewise affine reconstructions, leading also to a better preservation of hat-like structures.

연구 동기 및 목표

• 영상 복원 향상을 위한 총변동성과 L^p 노름을 조합한 일반적인 최소합성 정규화 프레임워크 개발.
• 표준 총변동성에서 발생하는 계단 효과를 유연한 L^p 페널티를 도입하여 해결.
• 특히 경계 및 구조 유지와의 관련성에서 다양한 p 값에 대해 TVL^p 기능의 정규화 성질 분석.
• 이론적 잘 정의된 문제성 증명 및 영상 복원 문제에 대한 정확한 1차원 해 도출.
• 수치적으로 p를 증가시킬수록 조각별 애핀 및 스파이크 유사 구조를 더 잘 유지함을 보여줌.

제안 방법

• 제안된 기능은 TVL^p_α,β(u) = inf_{w∈L^p(Ω)} α‖Du - w‖_ℳ + β‖w‖_L^p(Ω)로 정의되며, 여기서 ‖·‖_ℳ는 Radon 노름이다.
• 최소합성을 사용하여 제1차 총변동성과 L^p 정규화를 균형 잡고, p를 통해 부드러움을 제어할 수 있다.
• p=2인 경우 정확한 1차원 해를 분석적으로 도출하였으며, 이는 Huber-TV 정규화와 동치임을 밝혀냈다.
• 수치 실험은 2차원 영상 복원 및 분해 문제의 최소화를 해결하기 위해 분할 Bregman 알고리즘을 사용한다.
• 대trast 향상 및 계단 효과 추가 감소를 위해 Bregman 반복을 적용하였으며, 이로써 TGV^2 성능에 가까워졌다.
• 모델을 통해 해를 조각별 상수 및 부드러운 성분으로 분리함으로써 영상 분해를 수행하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 TV–L^p 최소합성 기능에서 p의 선택이 영상 복원의 정규화 성질과 복원 품질에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 제안된 TVL^p 기능이 표준 총변동성보다 계단 효과를 더 효과적으로 제거할 수 있는가?
• RQ3 p=2인 TVL^p 모델은 잘 알려진 Huber-TV 정규화자와 동치인가? 이 경우 정확한 1차원 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 p를 증가시킬수록 재구성된 영상의 구조에 어떤 영향을 미치며, 특히 날카운 스파이크 및 애핀 영역 유지에 있어 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 Bregman 반복을 통해 TVL^p 재구성 품질을 향상시켜 TGV^2 성능에 도달하거나 이를 초월할 수 있는가?

주요 결과

• p=2인 경우, TVL^p 기능은 수학적으로 Huber-TV 정규화자와 동치이며, 복원 문제에 대해 정확한 1차원 해를 도출하였다.
• 모델은 계단 효과를 영상 복원에서 효과적으로 제거하였으며, 특히 p 값이 클수록 더 효과적이다.
• p가 증가할수록 재구성 결과는 조각별 상수에서 조각별 선형으로 전이되어 햇형 및 스파이크 유사 구조를 더 잘 유지한다.
• 수치 결과는 Bregman 반복이 재구성 품질을 크게 향상시킴을 보여주었으며, TGV^2와 유사한 SSIM 값을 달성하였다 (예: TVL^2에 Bregman 반복 적용 시 SSIM=0.9433).
• 고p 값을 가진 TVL^p 모델은 표면도 및 프로파일 비교를 통해 합성 영상의 중심 스파이크와 같은 날카운 특징을 TGV^2보다 더 잘 유지함을 입증하였다.
• 기능 (5.1) 은 조각별 상수 및 부드러운 성분으로 효과적인 기하학적 분해를 가능하게 하였으며, 그림 19에서 시각적 및 정량적 검증을 통과하였다.