[논문 리뷰] Infinite computable version of Lovasz Local Lemma

Andrey Rumyantsev|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 02.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모스-타르도스 알고리즘을 무한하고 효과적으로 표현된 확률적 시스템에 적용하여 무한 라보슈 로바슈 국소 레몬(Lovász Local Lemma, LLL)의 계산 가능한 판본을 수립한다. 약간 강화된 조건(경계를 $1 - \varepsilon$로 곱함)을 만족할 경우, 모든 금지된 사건을 피하는 계산 가능한 할당이 존재함을 증명하며, 효과적인 의존성 구조를 갖는 무한 설정으로까지 구성적 LLL를 확장한다.

ABSTRACT

Lovász Local Lemma (LLL) is a probabilistic tool that allows us to prove the existence of combinatorial objects in the cases when standard probabilistic argument does not work (there are many partly independent conditions). LLL can be also used to prove the consistency of an infinite set of conditions, using standard compactness argument (if an infinite set of conditions is inconsistent, then some finite part of it is inconsistent, too, which contradicts LLL). In this way we show that objects satisfying all the conditions do exist (though the probability of this event equals~$0$). However, if we are interested in finding a computable solution that satisfies all the constraints, compactness arguments do not work anymore. Moser and Tardos recently gave a nice constructive proof of LLL. Lance Fortnow asked whether one can apply Moser--Tardos technique to prove the existence of a computable solution. We show that this is indeed possible (under almost the same conditions as used in the non-constructive version).

연구 동기 및 목표

• 표준적인 컴팩트성 추론이 실패하는 무한 시스템으로 구성적 모스-타르도스 알고리즘을 확장하기 위해.
• 유한하고 효과적으로 표현된 의존성 구조를 갖는 무한 제약 집합의 계산 가능한 해가 존재하는 조건을 설정하기 위해.
• 컴팩트성에 기반한 비구성적 존재 증명과 무한 조합 시스템에서 알고리즘적으로 실현 가능한 해 사이의 격차를 메우기 위해.
• 무한 제약 만족 문제(예: 무한 CNF 공식 또는 수열에서 패턴 회피)에서 계산 가능한 해를 구성하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 사건에 포함된 변수의 최대 인덱스를 기반으로 계산 가능한 우선순위 순서를 도입함으로써, 모스-타르도스 재표본 추출 알고리즘을 무한 시스템에 적응시킨다.
• 모든 변수 $P_0, \dots, P_n$ 에 의존하는 사건들이 유한한 접두사로 구성되도록 사건들을 순서화함으로써, 유한 단계에서의 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 각 사건에 대한 재표본 횟수의 기대값이 $x(A)/(1 - x(A))$ 로 유계임을 이용하여, 유한 단계에서 거의 확실히 수렴함을 보장한다.
• 확률 1로 $P_0, \dots, P_n$ 에 의존하는 모든 제약 조건이 결국 만족됨을 증명함으로써, 극한 구성이 가능함을 보인다.
• 무한 CNF 공식에 결과를 적용하기 위해, 크기가 $k$ 인 절에 대해 $x(A) = 2^{-\beta k}$ 로 설정함으로써, 희박 조건 하에서 수렴함을 보장한다.
• 각 절에서 소수의 변수를 제거함으로써, 변수당 절의 무한 발생 수를 갖는 일반적인 경우를 유한 발생 수의 경우로 환원하며, 희박 조건을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트성 기반 존재 증명이 실패하는 무한 시스템에서, 모스-타르도스 알고리즘이 구성적으로 해를 찾을 수 있는가?
• RQ2 유한하고 의존성 집합이 있는 무한 제약 집합의 경우, 어떤 효과적인 조건 하에 계산 가능한 해가 존재하는가?
• RQ3 고전적 LLL 조건을 일관된 $1 - \varepsilon$ 요소로 강화하여 해의 계산 가능성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 구성적 LLL 는 변수에 따라 절 빈도가 달라지는 무한 CNF 공식에 적용할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 2차원 구성이나 기타 다차원 제약 시스템으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 유리수 $\varepsilon > 0$ 와 계산 가능한 $x: \mathcal{A} \to (0,1)$ 가 존재할 때, $\Pr[A] \leq (1 - \varepsilon)x(A) \prod_{E \in \Gamma(A)} (1 - x(E))$ 를 만족하면, 모든 금지된 사건을 피하는 계산 가능한 할당이 존재한다.
• 모스-타르도스 알고리즘이 사건들을 최대 변수 인덱스 기준으로 순서화할 경우, 무한 시스템에서 거의 확실히 만족할 수 있는 할당으로 수렴한다.
• 각 변수당 크기가 $n$ 인 절이 최대 $2^{\alpha n}$ 개인 무한 CNF 공식의 경우, $\alpha < 1$ 이고 절의 크기가 충분히 크면 계산 가능한 만족 할당이 존재한다.
• 결과는 2차원 구성으로까지 확장된다: 면적이 $n$ 인 직사각형 패턴의 수가 최대 $2^{\alpha n}$ 인 결정 가능 집합에 대해, 큰 패턴을 피하는 계산 가능한 2차원 구성이 존재한다.
• 변수당 절의 무한 발생 수를 갖는 일반적인 경우는 각 절에서 소수의 변수를 제거함으로써 유한 발생 수의 경우로 환원되며, 희박 조건이 유지된다.
• 이 프레임워크는 결정 가능 집합 $F$ 에서 길이 $n$ 인 문자열이 최대 $2^{\alpha n}$ 개인 무한 계산 가능한 수열이 모든 부분문자열을 피하는 존재에 대한 구성적 증명을 제공한다.