[논문 리뷰] Infinite computations with random oracles

Merlin Carl, Philipp Schlicht|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 29.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전체 측도, 양측도, 코미저, 비가측 Borel 집합 등의 큰 집합의 오라클에 대해 계산 가능한 실수는 반드시 오라클 없이도 계산 가능한가를 조사한다. ITTM, ITRM, α-튜링 기계 등의 대부분의 무한 시간 기계 모델에서는 이러한 큰 오라클 집합에서의 균일한 계산 가능성은 표준 계산 가능성으로 이어지지만, 순서수 튜링 기계(OTM)의 경우 답은 ZFC와 독립적이며, 이는 이러한 모델들이 난수 가정 하에서 어떻게 다를 수 있는지를 보여준다.

ABSTRACT

We consider the following problem for various infinite time machines. If a real is computable relative to large set of oracles such as a set of full measure or just of positive measure, a comeager set, or a nonmeager Borel set, is it already computable? We show that the answer is independent from ZFC for ordinal time machines (OTMs) with and without ordinal parameters and give a positive answer for most other machines. For instance, we consider, infinite time Turing machines (ITTMs), unresetting and resetting infinite time register machines (wITRMs, ITRMs), and α-Turing machines for countable admissible ordinals α.

연구 동기 및 목표

• 전체 측도, 양측도, 코미저, 비가측 Borel 집합 등의 큰 오라클 집합에 대해 계산 가능한 실수는 반드시 오라클 없이도 계산 가능한가를 판단하는 것.
• 무한 시간 계산 모델의 맥락에서 셰르치-튜링 추측의 강건성에 대해 조사하는 것.
• 난수성과 일반성의 역할을 오라클 계산에서 분석하여, 특히 난수나 일반적인 오라클이 비계산 가능한 실수를 유도할 수 있는지 여부를 고찰하는 것.
• OTM, ITTM, ITRM, α-튜링 기계 등의 다양한 무한 시간 기계 모델이 오라클 집합의 다양한 크기 개념 하에서 어떻게 행동하는지 비교하는 것.
• 측도론적 또는 위상수학적 크기 조건이 존재할 때, 국소화된 계산 가능성과 절대적 계산 가능성의 경계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• OTM, ITTM, ITRM(무재설정 및 재설정), 그리고 가산 적합 순서수 α에 대해 정의된 α-튜링 기계의 여러 무한 시간 기계 모델에서 오라클 계산을 분석한다.
• 전체 측도, 양측도, 코미저, 비가측 Borel 집합 등의 측도론적 및 위상수학적 크기 개념을 오라클 집합에 적용한다.
• 정의 가능성과 체계적 구성 기법을 사용하여, 정지 시간과 계산 수준을 분석한다. 특히 $L_{\beta}$-계층과 $L_{\text{ord}}$-구조 내에서 분석한다.
• 일반성 논증을 사용하여, 예를 들어 $L_{\beta}$ 위에서의 코헨 일반 실수를 통해 특정 오라클이 계산의 적합성 및 구성 가능성 수준을 유지함을 보인다.
• 강제법과 난수 실수 이론을 적용하여, 만약 어떤 실수가 양측도 집합 또는 코미저 집합에 속하는 모든 오라클로부터 계산 가능하다면, 그 실수는 낮은 수준의 구성 계층에 속함을 보인다.
• 서로 다른 일반성 오라클이 $L_{\beta}$에서 교차할 경우 $L_{\beta}$가 유지됨을 이용하여, 계산된 실수가 $L_{\beta}$에 속하고 따라서 계산 가능하다는 결론을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 시간 튜링 기계(ITTM)에서, 양측도 집합에 속하는 모든 오라클로부터의 계산 가능성은 표준 계산 가능성으로 이어지는가?
• RQ2 순서수 튜링 기계(OTM)에서, 순서수 매개변수 유무에 관계없이 오라클 크기 문제의 답은 ZFC와 독립적인가?
• RQ3 무재설정 및 재설정 무한 시간 레지스터 기계(wITRM, ITRM)에서, 비가측 Borel 집합에 속하는 오라클로부터의 계산 가능성은 표준 계산 가능성으로 이어지는가?
• RQ4 가산 적합 순서수 α에서의 α-튜링 기계에서, 양측도 집합 또는 비가측 Borel 집합에 속하는 오라클로부터의 계산 가능성은 α-계산 가능성으로 이어지는가?
• RQ5 $L_{\beta}$ 위에서 오라클의 상호 일반성 조건이 성립할 때, 그 오라클들로부터 계산된 실수가 $L_{\beta}$에 속하고 따라서 계산 가능해지는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 무한 시간 튜링 기계(ITTM)에서는, 비가측 Borel 집합에 속하는 오라클들로부터의 写기 가능성(최종 写기 가능성, 우연의 写기 가능성)은 표준 写기 가능성으로 이어진다.
• 무재설정 및 재설정 무한 시간 레지스터 기계(wITRM, ITRM) 모두에서, 양측도 집합 또는 비가측 Borel 집합에 속하는 오라클들로부터의 계산 가능성은 표준 계산 가능성으로 이어진다.
• 모든(또는 무한히 많은) 가산 적합 순서수 α에 대해, 비가측 Borel 집합 또는 양측도 집합에 속하는 오라클들로부터의 계산 가능성은 α-튜링 기계의 α-계산 가능성으로 이어진다.
• 순서수 튜링 기계(OTM)에서는, 큰 오라클 집합이 표준 계산 가능성으로 이어지는지 여부에 대한 답은 ZFC와 독립적이다. 순서수 매개변수 유무에 관계없이 동일하다.
• OTM의 정지 시간의 상한인 η는 $\bar{\alpha} < \eta$를 만족한다. 여기서 $\bar{\alpha}$는 어떤 $\beta > \bar{\alpha}$에 대해 $L_{\bar{\alpha}}$가 $L_{\beta}$와 논리적으로 동치인 최소 순서수이다.
• 만약 실수 x가 $L_{\alpha+1}$ 위에서의 코헨 일반 오라클들의 코미저 집합 C에 속하는 모든 오라클로부터 계산 가능하다면, $x \in L_{\alpha}$이며 따라서 x는 α-계산 가능하다.