[논문 리뷰] Infinite-dimensional bilinear and stochastic balanced truncation

Simon Becker, Carsten Hartmann|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 14.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 16인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 양자역학의 힐버트 공간 기법을 활용하여 무한차원 비선형 및 확률적 시스템으로의 균형자uncation을 확장하며, 혼합 하디 공간 오차 한계를 수립하고, 위너 노이즈에 의해 구동되는 확률적 진화 방정식의 모델 축소에 대한 수렴성을 증명한다.

ABSTRACT

Along the ideas of Curtain and Glover, we extend the balanced truncation method for infinite-dimensional linear systems to bilinear and stochastic systems. Specifically , we apply Hilbert space techniques used in many-body quantum mechanics to establish error bounds for the truncated system and prove convergence results. The functional analytic setting allows us to obtain mixed Hardy space error bounds for both finite-and infinite-dimensional systems, and it is then applied to the model reduction of stochastic evolution equations driven by Wiener noise.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 비선형 및 확률적 시스템에 대한 체계적인 모델 축소 기법의 부족을 해결한다.
• 무한차원 연산자와 확률적 입력으로 인해 발생하는 오차 추정 및 수렴성 문제를 극복한다.
• 완전한 시스템과 축소된 시스템 간의 오차 한계와 수렴성 증명을 가능하게 하는 기능해석학적 프레임워크를 개발한다.
• 위너 노이즈에 의해 구동되는 확률적 진화 방정식에 이 방법을 적용하여 축소된 순서 모델의 강건성과 정확성을 확보한다.

제안 방법

• 다체 양자역학에서 유래한 힐버트 공간 기법을 활용하여 무한차원 설정에서의 시스템 균형 분석을 수행한다.
• 혼합 하디 공간 오차 한계를 사용하여 전체 시스템과 축소된 시스템 간의 근사 오차를 정량화한다.
• 힐버트 공간 프레임워크 내에서 연산자 기반의 그람형 균형화를 통한 균형자uncation 절차를 수립한다.
• 적절한 스펙트럼 및 해석적 조건 하에서 축소된 시스템이 원래 시스템으로 수렴함을 증명한다.
• 곱셈적 위너 노이즈에 의해 구동되는 확률적 진화 방정식에 이 프레임워크를 적용하여 확률적 맥락에서의 오차 통제를 보장한다.
• 무한차원 상태 공간과 비유계 연산자를 엄밀하게 다룰 수 있는 기능해석 도구를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능해석학적 방법을 사용하여 균형자uncation을 체계적으로 무한차원 비선형 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 무한차원 비선형 및 확률적 시스템의 축소된 모델에 대해 오차 한계를 엄밀하게 유도할 수 있는가?
• RQ3 확률적 맥락에서 축소된 순서 모델이 원래 시스템으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 혼합 하디 공간 오차 한계는 유한차원 및 무한차원 시스템을 통합된 프레임워크 내에서 적용할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 위너 노이즈에 의해 구동되는 확률적 진화 방정식에 대해 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 논문은 유한차원 및 무한차원 시스템 모두에 대해 혼합 하디 공간 오차 한계를 수립하여 정량적 오차 추정을 가능하게 한다.
• 시스템 연산자에 대한 적절한 스펙트럼 및 해석적 조건 하에서 축소된 시스템이 원래 시스템으로 수렴함을 증명한다.
• 힐버트 공간 기법에 기반한 기능해석학적 프레임워크는 비유계 연산자를 갖는 시스템에 대한 강건성과 적용 가능성 보장한다.
• 이 방법은 위너 노이즈에 의해 구동되는 확률적 시스템으로의 균형자uncation을 성공적으로 확장하며, 체계적인 축소 접근법을 제공한다.
• 오차 한계는 무한차원 시스템의 넓은 범주에 적용 가능하며, 특히 확률적 진화 방정식에서 기인하는 시스템에도 적용 가능하다.
• 하디 공간 노름을 활용하여 결정론적 및 확률적 시스템의 모델 축소를 하나의 이론적 프레임워크 내에서 통합한다.