[논문 리뷰] Infinite-dimensional groups over finite fields and Hall-Littlewood symmetric functions

Cesar Cuenca, Grigori Olshanski|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 무한차원 리 대수에서의 에르고딕 코어지안-불변 라돈 측도와 변형된 양의 그래프 위의 조화 함수 사이의 대응을 확립한다. 헬-리틀우드 대칭 함수를 사용하여, 유니터리 군에 대한 코어지안 작용으로의 추적 가능한 인자 표현 이론을 확장한다. 유한체 위의 유니터리 군에 대해, 측도는 매개수 $ t = -q^{-1} $를 갖는 비표준 헬-리틀우드 변형과 연결되며, 플랑카렐 측도의 유사체와 새로운 분할 그래프를 유도한다.

ABSTRACT

The groups mentioned in the title are certain matrix groups of infinite size over a finite field $\mathbb F_q$. They are built from finite classical groups and at the same time they are similar to reductive $p$-adic Lie groups. In the present paper, we initiate the study of invariant measures for the coadjoint action of these infinite-dimensional groups. We examine first the group $\mathbb{GLB}$, a topological completion of the inductive limit group $\varinjlim GL(n, \mathbb F_q)$. As was shown by Gorin, Kerov, and Vershik [arXiv:1209.4945], the traceable factor representations of $\mathbb{GLB}$ admit a complete classification, achieved in terms of harmonic functions on the Young graph $\mathbb Y$. We show that there exists a parallel theory for ergodic coadjoint-invariant measures, which is linked with a deformed version of harmonic functions on $\mathbb Y$. Here the deformation means that the edges of $\mathbb Y$ are endowed with certain formal multiplicities coming from the simplest version of Pieri rule (multiplication by the first power sum $p_1$) for the Hall-Littlewood (HL) symmetric functions with parameter $t:=q^{-1}$. This fact serves as a prelude to our main results, which concern topological completions of two inductive limit groups built from finite unitary groups. We show that in this case, coadjoint-invariant measures are linked to some new branching graphs. The latter are still related to the HL functions, but the novelty is that now the formal edge multiplicities come from the multiplication by $p_2$ (not $p_1$) and the HL parameter $t$ turns out to be negative (as in Ennola's duality).

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 무한차원 군에 대한 코어지안 작용에 대한 에르고딕 불변 라돈 측도를 분류하는 것.
• 조화 함수를 이용한 변형된 그래프에서의 코어지안 설정으로 추적 가능한 인자 표현 이론을 확장하는 것.
• 유니터리 불변 측도와 매개수 $ t = -q^{-1} $를 갖는 헬-리틀우드 대칭 함수 사이의 연결 고리를 확립하는 것.
• 짝수 및 홀수차원 유니터리 군에서 유래하는 코어지안-불변 측도를 위한 새로운 분할 그래프를 구성하는 것.

제안 방법

• 유한체 $ \mathbb{F}_q $ 위의 유한 고전 군, 예를 들어 $ \mathrm{GLB} $, $ \mathrm{U}(2\infty, q^2) $, $ \mathrm{U}(2\infty+1, q^2) $의 위상 완비화를 유도한 귀납적 극한 구성법을 사용하는 것.
• 국소 콪트 아벨 군 위에서의 라돈 변환과 푸리에 분석을 적용하여 일반화된 구면 표현을 정의하는 것.
• 홀-리틀우드 다항식에 의해 결정되는 간선 중복도를 갖는 $ \mathrm{HL} $-변형 양의 그래프 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $를 도입하는 것.
• 콘의 동형정리(Conical isomorphism theorem)를 사용하여 분할 그래프의 경계를 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ 위의 음이 아닌 조화 함수 공간과 동일시하는 것.
• 불변 측도와 일반화된 구면 표현 사이의 매크시 타입 대응을 이용하여 측도를 유니터리 표현과 연결하는 것.
• 매개수 $ t = -q^{-1} $인 유니터리 경우에서 플랑카렐 유사 공식을 통해 측도를 명시적으로 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위의 무한차원 군에 대해 에르고딕 코어지안-불변 라돈 측도는 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ2 헬-리틀우드 대칭 함수는 코어지안 궤도 공간 위의 불변 측도의 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 측도 분류의 맥락에서 유니터리 군의 분할 그래프는 일반선형군의 것과 어떻게 다를까?
• RQ4 유니터리 군에 대해 양의 그래프를 변형할 때 매개수 $ t = -q^{-1} $의 의미는 무엇인가?
• RQ5 이러한 무한차원 군에 대해 플랑카렐 측도의 유사체를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $ \mathrm{GLB} $의 경우, 에르고딕 코어지안-불변 라돈 측도는 매개수 $ t = q^{-1} $를 갖는 헬-리틀우드 변형 양의 그래프 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ 위의 음이 아닌 조화 함수와 일대일 대응된다.
• 짝수차원 유니터리 군 $ \mathrm{U}(2\infty, q^2) $의 경우, 측도는 $ t = -q^{-1} $에서의 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $와 관련된 새로운 분할 그래프와 연결되며, 이는 표준 헬-리틀우드 변형이 아니다.
• 홀수차원 유니터리 군 $ \mathrm{U}(2\infty+1, q^2) $의 경우에도 유사한 비표준 변형이 $ t = -q^{-1} $에서 발생하여 별개의 분할 구조를 이룬다.
• 유니터리 케이스의 분할 그래프 경계는 $ Y^{\mathrm{HL}}(-q^{-1}) $ 위의 조화 함수를 통해 기술되며, 고전적 양의 그래프의 토마 심플렉스를 일반화한다.
• 이 이론은 새로운 유니터리 불변 측도의 가닥을 도출하며, 매개수 $ t = -q^{-1} $의 변형을 통해 플랑카렐 유사 측도를 구성한다.
• 불변 측도와 일반화된 구면 표현 사이의 대응은 푸리에 변환과 젤프란 트리플 구성법을 통해 확립되며, 매크시 이론을 비콤팩트 설정으로 확장한다.