[논문 리뷰] Infinite-dimensional integration and the multivariate decomposition method

Frances Y. Kuo, Dirk Nuyens외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 22.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 52인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 적분을 위한 다변량 분해 방법(Multivariate Decomposition Method, MDM)을 발전시켜, 알고리즘에 의존하는 가중치 $ \gamma_{\frak{u}} $ 가 아닌, 노름 공간 $ F_{\frak{u}} $ 내에서 함수 성분 $ f_{\frak{u}} $ 에 대한 알려진 상한 $ B_{\frak{u}} $ 를 가정함으로써 개선한다. 르베그 적분이 임의의 앵커 포인트에 관계없이 앵커드 적분과 동일하다는 것을 증명하고, 수렴 속도가 $ \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ 형식이며 $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $ 임을 도출하여, 비용 한계가 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ 임을 보인다.

ABSTRACT

We further develop the \\emph{Multivariate Decomposition Method} (MDM) for the Lebesgue integration of functions of infinitely many variables $x_1,x_2,x_3,\\ldots$ with respect to a corresponding product of a one dimensional probability measure. Although a number of concepts of infinite-dimensional integrals have been used in the literature, questions of uniqueness and compatibility have mostly not been studied. We show that, under appropriate convergence conditions, the Lebesgue integral equals the `anchored' integral, independently of the anchor. The MDM assumes that point values of $f_{\\mathfrak{u}}$ are available for important subsets ${\\mathfrak{u}}$, at some known cost. In this paper we introduce a new setting, in which it is assumed that each $f_{\\mathfrak{u}}$ belongs to a normed space $F_{\\mathfrak{u}}$, and that bounds $B_{\\mathfrak{u}}$ on $\\|f_{\\mathfrak{u}}\\|_{F_{\\mathfrak{u}}}$ are known. This contrasts with the assumption in many papers that weights $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$, appearing in the norm of the infinite-dimensional function space, are somehow known. Often such weights $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$ were determined by minimizing an error bound depending on the $B_{\\mathfrak{u}}$, the $\\gamma_{\\mathfrak{u}}$ \\emph{and} the chosen algorithm, resulting in weights that depend on the algorithm. In contrast, in this paper only the bounds $B_{\\mathfrak{u}}$ are assumed known. We give two examples in which we specialize the MDM: in the first case $F_{\\mathfrak{u}}$ is the $|{\\mathfrak{u}}|$-fold tensor product of an anchored reproducing kernel Hilbert space, and in the second case it is a particular non-Hilbert space for integration over an unbounded domain.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 적분 개념의 유일성과 호환성 부족 문제를 해결하기 위해, 곱측도의 맥락에서 르베그 적분을 엄밀히 정의한다.
• 알고리즘에 의존하는 가중치 $ \gamma_{\frak{u}} $ 를 기반으로 하지 않고, 오직 $ \|f_{\frak{u}}\|_{F_{\frak{u}}} $ 에 대한 상한 $ B_{\frak{u}} $ 만을 가정하는 새로운 MDM 프레임워크를 개발한다.
• 어떤 앵커 포인트를 선택하든 간에 르베그 적분과 앵커드 적분 간의 이론적 동치성을 확립한다.
• 새로운 $ B_{\frak{u}} $ 기반 설정 하에서 MDM의 수렴성 및 비용 분석을 제공하며, 명시적인 오차 및 비용 한계를 제시한다.
• MDM를 두 가지 경우에 특화한다: (1) 앵커드 RKHS의 텐서곱, (2) 유계가 아닌 영역을 위한 비 힐버트 공간.

제안 방법

• 함수 $ f = \sum_{\frak{u}} f_{\frak{u}} $ 에 대해 MDM를 적용하며, 각 $ f_{\frak{u}} $ 는 유한한 부분집합 $ \frak{u} \subset \mathbb{N} $ 에 의해 인덱싱된 변수에만 의존하고, $ f_{\frak{u}} \in F_{\frak{u}} $ 이며 노름 상한 $ B_{\frak{u}} $ 가 알려져 있다고 가정한다.
• 적분은 $ \rho = \prod_{j=1}^\infty \rho_j $ 의 곱측도에 대해 수행되며, $ \rho_j $ 는 $[0,\infty)$ 에서 지수분포 $ \exp(-x_j) $ 이다.
• 기준으로 앵커드 적분을 사용하고, 수렴 조건이 만족될 경우, 어떤 앵커 포인트를 선택하든 르베그 적분이 앵커드 적분과 동일하다는 것을 증명한다.
• 스몰랴크의 구성법을 사용하여, 오차 $ \|I - U_i\| < C_1 2^{-i} $, $ C_1 = 1.00656 $ 를 만족하는 일변량 적분 규칙 $ U_i $ 를 이용해 다변량 적분 알고리즘 $ A_{{\frak{u}},n_{\frak{u}}} $ 를 구축한다.
• 오차 한계는 통합 기능의 노름 $ C_{\frak{u}} = \|I_{\frak{u}}\| = 1 $ 과 함께 유도되며, 이항계수와 감쇠율을 포함하는 $ G_{{\frak{u}},q} $ 항을 통해 오차가 제한된다.
• 최종 알고리즘 $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ 는 $ B_{\frak{u}} $ 를 기반으로 $ \kappa_{\frak{u}} $ 와 $ h_{\frak{u}} $ 를 선택함으로써 구성되며, 이로 인해 수렴 속도 $ e(\overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon}; {\mathcal{F}}) \leq \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ 를 얻고, 여기서 $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 변수 함수의 르베그 적분이 앵커드 적분과 동일한 조건은 무엇인가, 이는 앵커 포인트의 선택과 무관하게 성립하는가?
• RQ2 알고리즘에 의존하는 가중치 $ \gamma_{\frak{u}} $ 를 가정하지 않고, $ \|f_{\frak{u}}\|_{F_{\frak{u}}} $ 에 대한 상한 $ B_{\frak{u}} $ 만 알려져 있을 경우, 다변량 분해 방법(MDM)을 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ3 이 새로운 $ B_{\frak{u}} $ 기반 설정 하에서 MDM의 수렴 속도와 비용 한계는 어떤가?
• RQ4 MDM가 (1) 앵커드 RKHS의 텐서곱과 (2) 유계가 아닌 영역을 위한 비 힐버트 공간으로 특화되었을 때, 성능은 어떠한가?
• RQ5 적분 알고리즘의 복잡성과 함수 성분 노름의 감쇠 $ B_{\frak{u}} $ 간의 관계는 무엇인가, 특히 $ \pounds(d) = e^{O(d)} $ 일 경우 어떻게 되는가?

주요 결과

• 함수 $ f $ 가 지배적으로 수렴하는 분해 $ f = \sum_{\frak{u}} f_{\frak{u}} $ 를 가질 경우, 적절한 수렴 조건 하에서 르베그 적분은 앵커드 적분과 동일하며, 이는 앵커 포인트의 선택과 무관하다.
• 알려진 $ B_{\frak{u}} $ 를 가진 새로운 MDM 설정 하에서, 알고리즘 $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ 의 오차는 $ e(\overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon}; {\mathcal{F}}) \leq \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ 를 만족하며, 여기서 $ \delta(\varepsilon) = O(1/\ln(\ln(1/\varepsilon))) $ 이다.
• 알고리즘 $ \overline{{\mathcal{A}}}_{\varepsilon} $ 의 비용은 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ 로 제한되며, 이는 주어진 오차율에 대해 거의 최적이다.
• $ \pounds(d) = e^{O(d)} $ 일 경우, 비용 한계는 여전히 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ 이며, 이는 알고리즘이 문제의 차원성과 잘 스케일링됨을 시사한다.
• 앵커드 RKHS의 경우, $ \boldsymbol{x}_{\frak{u}} $ 에서 평가 기능의 노름은 $ \prod_{j \in \frak{u}} x_j $ 이며, 통합 기능의 노름은 1이다.
• 유계가 아닌 영역의 경우 지수 가중치를 사용할 때, 일변량 통합 기능의 노름은 1이며, MDM는 오차 $ \varepsilon^{1-\delta(\varepsilon)} $ 와 비용 $ O(\varepsilon^{-(1+\delta(\varepsilon))}) $ 를 달성한다.