[논문 리뷰] Infinite families of $2$-designs from two classes of binary cyclic codes with three nonzeros

Xiaoni Du, Rong Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 19.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 세 개의 비제로를 가진 두 종류의 이진 순환부호에서 무한한 2-설계 가족을 구성한다: 하나는 삼중 오류 수정 BCH 부호와 관련되고, 다른 하나는 일반화된 카사미 케이스 부호와 관련된다. 그들의 무게 분포를 결정하고 애फ인 불변성을 증명함으로써, 저자들은 2-설계의 매개변수를 명시적으로 유도하였으며, m=4일 때 BCH 부호의 이중에서 다섯 개인 3-설계를 발견하였다.

ABSTRACT

Combinatorial $t$-designs have been an interesting topic in combinatorics for decades. It is a basic fact that the codewords of a fixed weight in a code may hold a $t$-design. Till now only a small amount of work on constructing $t$-designs from codes has been done. In this paper, we determine the weight distributions of two classes of cyclic codes: one related to the triple-error correcting binary BCH codes, and the other related to the cyclic codes with parameters satisfying the generalized Kasami case, respectively. We then obtain infinite families of $2$-designs from these codes by proving that they are both affine-invariant codes, and explicitly determine their parameters. In particular, the codes derived from the dual of binary BCH codes hold five $3$-designs when $m=4$.

연구 동기 및 목표

• 세 개의 비제로를 가진 두 종류의 이진 순환부호의 무게 분포를 결정하는 것: 하나는 삼중 오류 수정 BCH 부호에서 유래되고, 다른 하나는 일반화된 카사미 케이스 부호에서 유래된다.
• 이 부호들이 애फ인 불변임을 증명하여, 그들의 부호어로부터 t-설계를 구성할 수 있도록 하는 것.
• 이러한 순환부호의 확장 이중 부호로부터 파생된 2-설계의 매개변수를 명시적으로 계산하는 것.
• m=4일 때 BCH 부호의 확장 이중 부호에서 3-설계의 존재성과 구조를 조사하는 것.
• 세 개의 비제로를 가진 순환부호와 그들의 무게 분포를 활용하여, 선형부호에서 t-설계를 구성하는 기존의 방법을 확장하는 것.

제안 방법

• Gauss 합과 특성 합 기법을 사용하여 첫 번째 부호류의 무게 분포를 유도하였으며, 특히 GF(2^m) 내에서 β ≠ 0 인 경우에 대한 지수합 $ S(a,b,c) = \frac{1}{2} \times \text{Tr}_1^m(a\beta^5 + b\beta^3 + c\beta) $ 를 분석하였다.
• Pless의 힘의 모멘트 항등식을 사용하여 무게 생성함수 계수 $ A_i $ 를 구하여, 모든 비영인 무게에 대한 명시적 공식을 도출하였다.
• 정의 집합이 성분별 부분순서 $ \trianglelefteq $ 에 대해 닫혀 있음을 확인하여, 확장 이중 부호 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 와 $ \bar{\text{C}_2^\bot} $ 가 애फ인 불변임을 증명하였다.
• 애फ인 불변 부호가 고정된 비영인 무게를 가진 부호어의 지지집합으로부터 2-설계를 유도할 수 있음을 보장하는 정리 3을 적용하였다.
• 설계 항등식에서 유도된 관계 $ b = \frac{1}{\binom{k}{2}} \times \binom{v}{2} \times \frac{A_k}{\text{블록 유형당 블록 수}} $ 를 사용하여 각 2-설계의 블록 수를 계산하였다.
• m=4일 때 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 내의 3-설계를 확인하기 위해, 특정 무게를 가진 부호어의 지지집합이 $ \binom{v}{3} \times \text{상수} $ 개의 블록을 가지는 3-설계를 형성하는지 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 개의 비제로를 가진 삼중 오류 수정 이진 BCH 부호의 이중 부호에서 고정된 무게를 가진 부호어가 2-설계를 형성하는가?
• RQ2 특성 합 방법을 사용하여 세 개의 비제로를 가진 이진 순환부호의 무게 분포를 완전히 결정할 수 있는가?
• RQ3 세 개의 비제로를 가진 이진 순환부호의 확장 이중 부호가 언제 2-설계를 유도하는가?
• RQ4 m=4일 때 삼중 오류 수정 BCH 부호의 확장 이중 부호에 3-설계가 존재하는가?
• RQ5 일반화된 카사미 케이스와 관련된 순환부호에서 무한한 2-설계 가족을 체계적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 부호류(삼중 오류 수정 BCH 부호와 관련)의 무게 분포가 완전히 결정되었으며, 일곱 개인 비영인 무게가 도출되었다: $ 2^{2s-1} $, $ 2^{2s-1} \backslashpm 2^{s-1} $, $ 2^{2s-1} \backslashpm 2^s $, 및 $ 2^{2s-1} \backslashpm 2^{s+1} $.
• 무게 $ 2^{2s-1} $ 를 가진 부호어의 수는 $ 29 \times 2^{6s-6} - 33 \times 2^{4s-6} + 17 \times 2^{2s-4} - 1 $ 이다.
• 무게 $ 2^{2s-1} - 2^{s-1} $ 를 가진 부호어의 수는 $ \frac{1}{15}(3 \times 2^{6s} + 3 \times 2^{5s} + 5 \times 2^{4s} + 5 \times 2^{3s} - 2^{2s+3} - 2^{s+3}) $ 이다.
• 확장 이중 부호 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 는 애फ인 불변이므로, 고정된 비영인 무게를 가진 부호어의 지지집합이 항상 2-설계를 형성한다.
• m=4일 때, 코드 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ 는 무게 분포와 설계 매개변수 검증을 통해 다섯 개인 서로 다른 3-설계를 포함한다.
• 두 번째 부호류(일반화된 카사미 케이스) 역시 동일한 애फ인 불변성과 무게 분포 접근법을 통해 무한한 2-설계 가족을 도출하였으며, 매개변수를 명시적으로 계산하였다.